第02章质点和质点系动力学习题题解.pdf

第 2 章 质点和质点系动力学 2.12.1 一斜面的倾角为, 质量为的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为m时, 求物体从高为处由静止下滑到底部所需的时间. h 解：解：设斜面得摩擦系数为。对分别处于倾角为m，得斜面上，列出牛顿运动方程为 角： 1 sin0fmg= x y 1 N 1 f mg 1 cos0Nmg= 11 fN= 角： 2 sin0fmg= 2 cos0Nmg= 22 fN= x y 2 N 2 f mg h 联立解得 sincosaggtg= 又物体从高为的斜面下滑的运动方程为 h 2 1 sin2 h at = 解得 () 22 cos sinsinsin hh t ag = 2.22.2 用力推地面上的一个质量为m的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成f角. 木 箱与地面之间的静摩擦系数为 0 , 动摩擦系数为 k . 求： （1）要推动木箱, 最小为 多少？使木箱作匀速运动, 为多少？（2）证明当 f f大于某值时, 无论为何值都不 能推动木箱, 并求 f 值. 解：解： （1）当的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 f () 0 cossinfmgf+ 0 0 cossin mg f 1 0 min 0 cossin mg f = 使木箱做匀速运动，则 ()cossin k fmgf=+ x y f 0 cossin kmg f = （2）当下式成立，则无论f多大，都不能推动木箱，即 0 cossinff， 0 1 arctg 2.32.3 质量为kg的直升飞机吊起1500kg的物体, 以 0.6m/s5000 2的加速度上升, 求： （1）空 气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：解： （1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()fMm gMm a+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 4 6.89 10fN= （2）对物体进行受力分析，得 m Tm gma= 解得吊绳中的张力为 () 4 1500 10.61.59 10Tm gaN=+= 2.42.4 质量为汽车以速率高速行驶, 受到的阻力作用, 为常数. 当汽车关 闭发动机后, 求： （1）速率v随时间的变化关系. （2）路程 m 0 v 2 kvf=k x随时间的变化关系. （3） 证明速率v与路程x之间的函数关系为 x m k evv = 0 （4） 若20 0 =vm/s, 经过15s后, 速 率降为m/s, 则为多少？ 10= t vk 解：解：由题意得 2 dv kvm dt = 当时， 0t = 0 vv= 两边分离变量 0 2 0 vt v dvk dt vm = 积分得 2 0 11k t vvm = 即 00 0 0 1 vm v kmkv t v t m = + + v （2）由上式两边积分得 0 00 0 xt mv dxdt mkv t = + 即 0 ln mkv tm x km + = （3）由（1）中得 0 0 mv kv tm v = 代入（2）中的结果，得 0 0 lnln mv mm vmm v x kmk + = v 即 0 k x m vv e = （4） 0 20mv s =,15ts=10 t m v s =代入（1）中得结果，解得 300 m k = 2.52.5 质量为的质点以初速度竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速 率成正比, 比例系数为试求： （1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质 点上升的最大高度. m 0 v 0k 解：解： （1）对上升过程，列出牛顿方程，得 dv mgkvm dt = 即 mdv dt mgkv = + 积分得 3 0 0 tv v mdv dt mgkv = + 即 k mg e k mg vv t m k += 0 对下降过程，列出牛顿方程，得 dv mgkvm dt = 即 mdv dt mgkv = 积分得 0 0 tv v mdv dt mgkv = 即 1 k t m mg ve k = （2）由（1）中方程得 dvdv dydy mgkvmmmv dtdy dtdt = 即 ()mgkvmgmvdvm dydv mgkvkmgkv + = + 积分得 () 2 0 2 0 ln mm gmg yvv kkmg + =+ + kv kv 当时，有 0v = 2 0 max0 2 ln mgkvmm g yv kkmg + = 2.62.6 自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为g, 出口速率 为m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 9 . 7 735 解：解：设肩部所受的平均作用力为F，由动量定理得 Ftmv= 4 即 3 120 7.9 10735 11.6 60 mv FN t = 2.72.7 质点在 x 轴上受 x 方向的变力的作用随时间的变化关系为：在刚开始的 0.1s 内均匀由0增至 20N， 又在随后的 0.2s 内保持不变， 再经过 0.1s 从 20N 均匀地减少到0. 求： （1）力随时间变化的图. （2）这段时间内力的冲量和力的平均值. （3）如 果质点的质量为3kg, 初始速度为1m/s, 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质 点速度为多少？ FF tF 解：解： （1）由题意得 20 0.1 0.3 0.4 F t （2）由上图得 11 20 0.120 0.220 0.16 22 IN s=+= 0.5 20 0.120 0.20.5 20 0.1 15 0.4 I FN t + = （3）由动量定理得 0t Ftmvv= 即 0 63 1 3 3 t Ftmv m v s m + = 2.82.8 子弹脱离枪口的速度为 300m/s, 在枪管内子弹受力为（SI） , 设 子弹到枪口时受力变为零. 求： （1）子弹在枪管中的运行的时间. （2）该力冲量的大 小. （3）子弹的质量. 5 4004 10/3Ft= 解：解： （1）由 5 4 10 4000 3 t F =得 3 3 10ts = 即子弹在枪管中的运行的时间为。 s 3 103 （2） 3 5 3 10 00 4 10 4000.6 3 t t IFdtdtN s = 5 （3）由得 IFtm v= 3 0.6 2 10 300 I mk v = g 2.92.9 自由电子在沿x轴的振荡电场() 0cos Et=+Ei中运动, 其中, 0 E, 为常 数. 设电子电量为, 质量为, 初始条件为：em0=t时, 00 v=vi, 00 x=ri. 略去 重力和阻力的作用, 求电子的运动方程. 解：解：由() 0cos FeEt= +得 0 0 0 tv v Fdtmdvmvmv= 解得 () 00 0 sinsin eEeE vvt mm =+ 两边同乘积分得 dt () + + =t m eE t m eE v m eE xxcossincos 2 00 0 2 0 0 2.102.10 质量为m的物体与一劲度系数为的弹簧连接, 物体可以在水平桌面上运动, 摩擦系数为 k . 当用一个不变的水平力拉物体, 物体从平衡位置开始运动. 求物体到 达最远时, 系统的势能和物体在运动中的最大动能. 解：解：分析物体水平受力，其中弹性力摩擦力为 fkx= fmg = 物体到达最远时，速度为 0。由动能定理得 F f f 2 1 0 2 Fxkxmgx= 解得 ()2Fmg x k = 系统的势能为 () 2 2 21 2 p Fmg Ekx k = 当加速度为零时，动能最大。由0Fkxmg=得 0 Fmg x k = 由动能定理得 6 () 0 2 max 0 1 2 x k Fkxmg dxmvE= () 2 max 2 k Fmg E k = 2.112.11 劲度系数为k的弹簧下端竖直悬挂着两个物体, 质量分别为和. 当整个系 统达到平衡后, 突然去掉. 求运动的最大速度. 1 m 2 m 2 m 1 m 解：解：未剪断前，弹簧伸长为 ， ( 112 kxmmg=+) () 12 1 mmg x k + = 当剪断和间连线，受到 1 m 2 m 1 m() 112 kxmmg=+和 得作用向上运动。速度达到 最大时，有 1 m g 1 2 m g x k = 选开始向上运动得位置为重力势能得零点，由能量守恒得 1 m () 22 12121 111 222 kxkxmg xxm v=+ 2 max 2 max 1 m g v m k = 2.122.12 汽车以 30km/h 的速度直线运行, 车上所载货物与底板之间的摩擦系数为0. 当汽车刹车时, 保证货物不发生滑动, 求从刹车开始到汽车静止所走过的最短路程. 25. 解：解：货物保持不滑动，以速度方向为正，则加速度满足 ag= 由题意有方程 2 0 1 2 sv tgt= 0 0vgt= 解得 2 0 14.2 2 v sm g = 2.132.13 质量为的小球在一个半径为mr的半球型碗的光滑内面以角速度在水平面内 作匀速圆周运动. 求该水平面离碗底的高度. 解：解：对小球进行受力分析，小球做匀速圆周运动的向心力由mg和碗对小球的支撑力提供， 即 22 cos mg mrmR tg = 7 mg N R r 该水平面离碗底的高度为 h ()1 sinhR= 联立求解得 2 g hR = 2.142.14 半径为r的圆盘绕其中心轴在水平面内转动. 质量分 别为和的小木块与圆盘之间的静摩擦系数均为 1 m 2 m, 现 用一根长为的绳子将它们连接. 试求：（1）放在圆心, 放在距圆心l处, 要使物体不发生相对滑动, 圆盘转动的 最大角速度 （2）将和位置互换, 结果如何？（3）两 小木块都不放在圆心, 但联线过圆心, 结果又如何？ rl 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 m l 习题 2.14 题图 解：解： （1）由题意得 () 2 122max mmgml+= 即 () 12 max 2 mmg m l + = （2）和位置互换，得 1 m 2 m () 12 max 1 mmg ml + = （3）两小木块都不放在圆心, 但联线过圆心,木块所受摩擦力不变，但离心力为两木块 之差，即 ()() 22 121121 mmgmlmll+= () () 12 max 1 121 mmg mlmll + = + 2.152.15 半径为r的光滑球面的顶点处, 质点以初速度为零开始下滑. 求质点滑到顶点下 什么位置脱离球面. 解：解：由重力提供向心力，当球面对质点吴支持力时，质点脱离球面，有 2 sin mv Fmg r = 由能量守恒得 () 2 1 1 sin 2 mgrmv= 8 mg N 联立求解得 2 sin 3 = 2.162.16 求解如下问题： （1）一力以 5m/s 的速度匀速提升质量为 10kg 的物体, 在 10s 内力做功多少？ （2） 若提升速度改为 10m/s, 把该物体匀速提升到相同高度, 力做 功多少？（3）a和b两种情况中, 它们的功率如何？（4）若用常力将该物体从静止 加速提升到相同高度, 使物体最后的速度为 5m/s, 则力做功多少？平均功率为多 大？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？ F FF F F 解：解： （1） 3 5 10WmghmgvtJ= （2）由于提升高度不变，所以功不变。 3 5 10WmghmgvtJ= （3） 5000 500 10 W PW t = 5000 1000 5 W PW t = （4）由题意得 5vat= 2 1 50 2 hat= 解得 ， 20t =s 2 0.25ma s = 2 1 5125 2 WmghmvJ=+= 5125 256.25 20 W PW t = 0 0PFvW= ()512.5 t PFvm ag vW=+= 2.172.17 子弹水平射入一端固定在弹簧上的木 块内, 木块可以在水平桌面上滑动, 它们之 间的动摩擦系数为, 由弹簧的压缩距离 求出子弹的速度. 设弹簧初始时处于自然长 度, 劲度系数为 2 . 0 100N m, 子弹和木块的 质量分别为 0.02kg 和 8.98kg, 子弹射入木块后, 弹簧被压缩 10cm. 求子弹的速度. 习题 2.17 题图 解：解：设子弹的质量为，初速度为，木块的质量为m 0 vM，由动量守恒得 () 0 mvmM v=+ 9 由能量守恒得 ()() 22 11 22 mM vmM g xk x+=+ + 联立求解得 0 320mv s = 2.182.18 质量为的小球从某一高度水平抛出, 落在水平桌面上发生弹性碰撞，并在抛出 1s 后, 跳回到原来高度, 速度大小和方向与抛出时相同. 求小球与桌面碰撞中, 桌面 给小球冲量的大小和方向. m 解：解：由题意在数值方向上得 ()2F tmvmvmv = = vgt= 联立求解得 1 22 2 Imvmgmg = 2.192.19 炮弹质量为, 以速率飞行. 其内部炸药使炮弹分为两块, 并使弹片增加动能mv T. 如果两块弹片的质量之比为, 且仍按原方向飞行. 求它们各自的速率. k 解：解：由题意得 1 2 m k m =， 12 m