分类探究和阅读题.doc

【本讲教育信息】一. 教学内容： 中考总复习（十二）分类讨论、设计与操作、探究开放、阅读与理解问题二. 解题指导：（一）分类讨论问题解题指导分类，是研究数学问题常用的一种思想方法，对研究对象进行分类，通常应从实际需要出发，先根据其数学本质属性的相同点和不同点，再根据研究对象区分为不同种类，把它们不重复、不遗漏地划分为若干类，应用分类的方法，往往能使复杂的问题条理化、简单化、变抽象为具体，可以把一个复杂问题分解成若干个相对简单的问题初中数学中常见的运用分类讨论思想解答的问题中主要有以下五个方面 1. 有些数学概念是分类给出的，有些定理、公式、法则是受到某些条件约束的，当题目中涉及这些定理、公式、法则时，就有可能进行分类讨论例如：绝对值问题 2. 从具体问题中抽象出方程或方程组，根据不同情况分类讨论求解，或者根据题意中不确定因素，准确、完整地分类讨论 3. 根据函数图像的特征和坐标系中特殊位置上的点的特征，分不同位置的图像或点的坐标去讨论并求解 4. 通过几何图形上的点的移动，图形的变换导致图像（形）从一种状态变为另一种形状，要根据其移动、变换中可能出现的不同形状，依据其形状特征规律，求解其不同位置上的几何量的大小 5. 题目中本身并未给出图形，依据题意画出的图形并不唯一，可分为不同情形画出图形分类求解运用分类讨论思想解题的一般步骤是： 1. 确定分类讨论的对象及其范围，明确对谁进行分类讨论 2. 按照确定的标准把对象分类后，逐类进行讨论，对于比较复杂的问题还要进行逐级分类讨论 3. 对分类讨论的结果进行归纳、合并、综合得出结论运用分类讨论思想解题的关键是： 1. 分类必须有一定标准，标准不同分类的结果也就不同 2. 在同一分类标准下，必须做到既不重复也不遗漏（二）设计与操作解题指导几何的设计与操作问题，主要分为如下一些类型： 1. 已知设计好的图案，求设计方案（如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等） 2. 利用基本图案设计符合要求的图案（如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等） 3. 图形分割与重组（如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求） 4. 动手操作（通过折叠、裁剪等手段制作特定图案）解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换（平移、轴对称、旋转、位似）外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效（三）探究开放解题指导传统的解答题和证明题，其条件和结论都是由题目明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质（四）阅读理解解题指导众所周知，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言的能力，透彻理解课本中的内容，认真总结解题的规律方法，是学好数学的重要环节，阅读理解这类题主要是对数学语言（也包括非数学语言）的理解、转化和运用等进行考查这种题型特点鲜明，内容丰富，形式多样，超越常规，源于课本，高于课本它要求考生在较短的时间里，读懂题目，理解数学语言（也包括非数学语言），依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点因此，阅读理解题可以从某一方面综合考查考生的数学素养和基本能力阅读理解题一般可分为如下几种类型： 1. 方法模拟型通过阅读理解，模拟提供的材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题 2. 判断推理型通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；依对材料本质的理解进行推理，作出解答 3. 迁移发展型从提供的材料中，通过阅读理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题【典型例题】 例1. 如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）分析：裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕（虚线）所在直线即为对称轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见图：解答：选D说明：将图形折叠后一部分与另一部分重合，则这两部分关于折痕所在直线成轴对称在图案设计中，经常使用这个性质使图形中一部分出现的某个图案也对称地出现在其他部分 例2. 如图，小亮拿出一张矩形纸图，沿虚线对折一次得图，再将对角两顶点重合折叠得图，按图沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形，一个等腰三角形D. 两个直角三角形，一个等腰梯形 分析：类似于上例，裁剪之后，将最后折叠成的图形按原来对折相反的方向展开，折痕（点划线）所在直线即为对称轴，则截剪线（虚线）会对称地出现在折痕的另一侧，见图：解答：选C说明：本例与上例类似，如果分析起来感觉到困难，那么实际动手操作一下是个好主意例3. 如图，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状和大小都相同的四块，种不同的花草左边的两个图案是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两种不同的方案分析：要想分割成的四部分全等方法很多，比如：可以利用正方形本身的对称性示例中利用正方形的对称轴来分割，根据轴对称的性质，符合题意示例中利用正方形的旋转对称性（旋转角为90），因此只需从正方形的边上任取一点向旋转中心（设为O点）引一条曲线，然后将此曲线以O为旋转中心，旋转90、180、270，这四条曲线正好将正方形四等分利用旋转对称性也可得到示例的分割法解答：答案不唯一如：例4. 如图，在1515的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点在图中画出以格点为顶点，边长都为整数的一个锐角ABC，并在每条边上标出其长度分析：由于小正方形的边长为整数1，因此水平或竖直的线段（端点在格点上）都可以作为ABC的边斜线段长有些为无理数，有些为整数，但斜线段均有横直线段与之首尾相接围成直角三角形，所以可以利用勾股数来寻找长为整数的斜线段解答：如图这些均可：例5. 已知：如图分别是画在66正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为、（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列各题： （1）：的值是_；（2）请在图的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形分析：在图中，阴影部分包括了14个面积为1的小正方形和8个面积为0.5的小等腰直角三角形因此其面积为类似地，可得解答：（1）9：11；（2）方法不唯一如图所示：说明：这种在网格中设计对称图形，基本阴影图形（如小正方形，小等腰直角三角形等）一定会重复出现，因此可以先确定好要用到的基本阴影图形的形状，计算出其面积，然后根据题目要求计算出要用到的基本阴影图形的块数这样便于设计出既符合“中心对称”，也符合“面积为8”要求的图形 例6. 如图，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能”填空）若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由分析：两条裁剪线最多能把四边形ABCD分成4部分，由于四边形ABCD的内角和为360，因此如果将这四部分重排，使A、B、C、D四个顶点重合于某个点时，刚好能够在该点处实现平面镶嵌在此基础上思考如何使拼成的图形是平行四边形解答：能拼接方法：如图，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连结EF、GH，则EF、GH为裁剪线EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180，3平移，拼成的四边形满足条件 例7. RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，另找一个直角三角形（各边长可以自行设定，且与原三角形不全等）与其拼成等腰三角形，求等腰三角形的周长分析：若以AB为腰构建等腰ABD或ABE，则镶拼RtACD或RtBCE（如图）；若以AB为底构建ABF，则镶拼RtBCF（如图）解：如图，点B是等腰三角形的顶点等腰ABD的周长为；点A是等腰三角形的顶点BE=等腰ABE的周长为如图，AB是等腰三角形的底，设CF=x，则AF=BF=3+x，由勾股定理，得等腰ABF的周长为拼成等腰三角形的周长为或说明：本题从图形的形状不同入手，找准分类的依据（如以AB为腰，以AB为底），确定形状，找出其对应的等腰三角形的周长例8. 已知AB是圆O的直径，AC、AD都是圆O的弦，AB=2，AD=1，则圆周角CAD=_分析：分为AC、AD在AB的两侧和同侧二种情况分别考虑当AC、AD在两侧时，连结BC、BD，则C=90，当AC、AD在AB同侧时，由对称性可知：CAD=60，故CAD=或45说明：本题可以从图形的相对位置不同入手，求出一解，再根据对称性求出另一解 例9. （1）一次函数的自变量x的取值范围为，相应的函数值y的取值范围为，求此函数的解析式（2）已知矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围分析：（1）小题根据一次函数的性质，当k0时，直线过点和点（6，9）；当时，直线过点和点，应分别求出对应的函数解析式（2）小题应分两圆外切和两圆内切两种情形分别求出圆A的半径r的取值范围解：（1）根据，当k0，由一次函数的性质，得：解得：函数解析式为；当kb）的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，连结DE过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）图2（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由解：（1）证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形在RtADM与RtCDE中，AD=CD又ADM+MDC=CDE+MDC=90ADM=CDERtADMRtCDEDM=DE四边形MNED是正方形正方形MNED的面积为；过点N作NPBE，垂足为P，如图3图3可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED（2）答：能理由是：由上述的拼接过程可以看出，对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形又可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，依此类推，由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过次拼接，得到一个正方形说明：本题的难点是如何回答第（2）小题的理由事实上，从题目的示例到第（1）小题的结论，已经证明：对于已知任意给定的两个正方形（无论它们是全等的还是不全等的），都可以拼接成为一个新的正方形只要抓住这一点，问题就可以一步一步地转化另外，本题的设计源于勾股定理证明的一种方法，请重视教材中的课题活动小结：分类讨论问题要求同学建立灵活的分类讨论的思想，考虑问题要周全、完整，设计与操作、探究开放，阅读与理解等问题要求同学们认真审题，充分领悟题目要求，灵活运用所学知识解答相关问题，准确地建立数学模型【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题 1. 下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是（ ） ABCD 2. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45；乙同学说：60；丙同学说：90；丁同学说：135以上四位同学的回答中，错误的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 3. 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线b（b/a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段；若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）A. B. C. D. （1）（2）（3）二. 填空题 4. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：_（写出一个即可） 5. 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4所对应的点分别与圆周上1，2，0，1所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_（用含n的代数式表示） 6. 如图，已知ABC的面积 7. 在一次函数中，若，则m的值为_ 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为a，则其底边上的高是_ 9. 平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆O的半径为_cm10. 用一