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对非线性破坏准则下边坡稳定性分析的线性简化马崇武武生智苗天德摘要：基于极限分析的上限理论,对非线性破坏准则的边坡稳定性问题, 提出了一个线性简化方法该方法把复杂的非线性问题化成线性问题,从而在实际工程应用时, 可以利用已有的关于线性问题的分析结果或根据本文论述的方法使问题简化数值算例表明了该方法的简单实用性关键词：边坡稳定； 非线性破坏准则； 极限分析中图分类号：P642.22文献标识码：A文章编号：0455-2059(1999)01-0049-04Linearization on Slope Stability Analysis with Nonlinear Failure CriterionMa Chongwu， Wu Shengzhi， Miao Tiande(Department of Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou, 730000, China)AbstractBased on the upper bound method of limit analysis, a method is suggested, which converts the slope stability problem with a nonlinear failure criterion to one with a linear criterion. Comparison of the numerical results by the linear method suggested here with those obtained by using a nonlinear failure criterion available in the literature shows that this simple method is satisfactory for engineering practice.Key wordsslope stability； nonlinear failure criterion； limit analysis在边坡稳定性分析中,极限平衡方法已得到广泛应用,但是一般无法确保它的解答是精确解答的上限还是下限极限分析的上限分析方法所得的解答确为精确解答的上限，因此，该方法越来越得到广泛的应用对于线性破坏准则的边坡稳定性问题，已有许多人利用极限分析理论进行了研究和探讨13在许多实际工程问题中，已有充分的实验数据表明，其破坏准则具有极高的非线性，且往往因表征材料特性的资料难以得到而无法直接用有限元等方法解决由于在分析边坡的稳定性问题时，我们关心的是边坡的稳定性，并非详尽的应力应变历史，为此，Zhang等4利用极限分析的上限理论对非线性屈服条件的边坡稳定性问题进行了详细分析本文利用极限分析理论，对非线性屈服条件的边坡稳定性问题提出了一个把复杂的非线性问题简化为线性问题的方法，以下简称线性简化法附图屈服准则和流动法则 Fig. A general yield and flow rule1基本假定（1） 土体发生破坏的瞬间，几何形状的改变较小，虚功原理可以应用；（2） 土体是刚塑性的，在破坏面上满足形式为=f()(1)的非线性破坏准则，其中，分别为破坏面上的剪应力和正压力；（3） 土体材料满足相关联的流动法则若土体满足上述假定，在（，）空间，如附图所示，定义t为切线摩擦角，(2)2极限分析的上限方法按照极限分析的上限理论，对于任何假定的破坏机制，如果边坡体在外力作用下所作的功率等于耗散的内功率，便可得边坡发生破坏的极限荷载（或安全因子）的上限该方法在边坡稳定性分析中已广泛应用1，4对于二维问题，表达式为(3)该等式简称为能量平衡方程对于刚塑性体，式（3）可简化为(4)对仅受自重作用的均质边坡(本文仅分析旋转式破坏机制)若记外力(即重力)所作的总功率为，耗散的内功率为D，则有 (5)(6)这里为容重，v为区域A中点沿方向的速度分量，区域A由边坡边界S与速度间断面(线)L围成，v为速度间断(标量)若材料满足线性Mohr-Coulomb 屈服条件=ctg，(7)则方程(6)简化为D=LccosvdL(8)这里c,分别为土的粘聚力和内摩擦角3极限荷载3.1Zhang-Chen 法Zhang 和 Chen依照极限分析的上限理论，对非线性破坏准则的边坡稳定性问题，用变分原理得到了极限荷载最小上限必须的条件两个微分方程和横截条件为简化计算，他们把复杂的微分方程组转化为较简单的初值问题，并把该数值过程称为 “逆方法”，详见文43.2线性简化法极限分析理论表明5：“在结构的任何部分提高材料的屈服极限，不会降低结构的极限载荷”因此，若给定一屈服条件超过真实屈服条件，则对应该屈服条件的任一运动学解均为极限载荷(对应真实屈服条件)的上限考察附图中由直线l确定的线性屈服条件，l为经过非线性屈服面(线)上点B并与其相切的直线，若非线性屈服面(线)的斜率随应力单调递减，则直线l完全落在该屈服面(线)的外侧于是，对应线性屈服条件(由l确定)的极限荷载不比对应非线性屈服条件的极限荷载小极限荷载的最小上限值由相应线性屈服条件的极限荷载(该值随B的位置变化而改变)的最小值确定直线l确定的线性屈服条件为=cttgt(9)若非线性屈服条件取(1)式，即=f(), 则t=arctg(f(B)，(10)ct=f(B)Btgt=f(B)Bf(B)(11)其中：B为切点的值以上分析表明，对非线性破坏准则的边坡稳定性问题可根据相对应的线性破坏准则估算极限荷载的最小上限不过在计算时，须用t,ct代替(8)式的,c4举例Zhang等在文4中对具有(12)非线性屈服条件的边坡稳定性问题进行了详细分析，他们定义稳定因子(13)这里h1为边坡的允许高度为方便计，我们记线性简化法中对应非线性屈服条件的边坡稳定因子为Nn，对应线性屈服条件的边坡稳定因子为Nl，则有(14)联立式(9)(12) 和(14)(15)其中：关于Nl在这里采用Chen1的结果，由于Chen的结果是关于每隔5给出的，我们可用抛物线插值法将Nl表示成t的函数求极限荷载的最小上限成为求Nn关于t的最小值线性简化法与Zhang-Chen法的数值结果比较见附表结果表明，线性简化法与Zhang-Chen法的结果相差很小，前者比后者仅高不到1.5%附表稳定因子(C=90 kPa,t=247.3 kPa)TableThe stability factors(C=90 kPa,t=247.3 kPa)系数m坡角()907560451.05.5107.48010.39016.1805.5107.48010.39016.1801.25.1306.7708.95012.5505.1576.7958.99812.6021.44.8906.3308.13010.8204.9256.3668.17710.9081.64.7306.0407.6109.7004.7636.0737.6579.8531.84.6005.8207.2409.1004.6445.8607.2879.1902.04.5205.6606.9708.7804.5505.7017.0178.690*2.54.3505.4006.5407.9504.3865.4336.5937.918*注：上行是Zhang-Chen 的结果; 下行是线性简化法的结果. 5结果与讨论a本文提出的线性简化方法，对于仅受自重作用的均质边坡，采用与文4相同的屈服条件，其稳定因子仅比文4的结果高估了不到1.5%，但计算过程要简单得多b附表中有两个注的数值（对应低坡角，高非线性指标）与理论分析不符，它们应该比Zhang-Chen的计算值大，现在反而小，估计差别是由Zhang-Chen的计算方法使其值偏大所引起c对于非线性屈服条件的稳定性问题，可以利用已有的关于线性屈服条件的结果或根据本文提出的方法化为线性问题，从而使问题得以简化d只要能找到超出相应非线性屈服条件的线性屈服条件线性简化法对诸如考虑孔隙水压力作用的稳定性问题以及地基承载力的计算等均适用作者简介：马崇武(1965-)，男，博士生作者单位：兰州大学 力学系， 甘肃 兰州730000参考文献1Chen W F. Limit analysis and soil plasticityM. Amsterdam: Elsevier，19752Michalowski R L. Slope stability analysis: a kinematical approachJ. Geotechnique, 1995,45(2):2832933Drescher A, Detournay E. Limit load in translational failure mechanisms for associative and non-associative materialsJ.Geotechnique,1993,