高等数学历年试题分类汇总.doc

多元微分学1. 设其中有连续的一阶导函数，求. (02级数分期末（A卷）)2. 设其中有连续的二阶导函数，求和(02级高数期末（A卷）)3.设，求 （01级高数期末（A卷）4.设是任意整数.试判别点和点是否为的极值点. （02级高数期末（A卷）5求由曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面在点处的指向外侧的单位法向量. (01级高数期中（A卷）)6.已知曲面上点处的切平面与直线垂直，求点的坐标及曲面在点的切平面方程.（02级高数期末（A卷）7.求曲面在点处的切平面方程. (02级高数期中卷)8.设是由方程确定的隐函数，求(02级高数期中卷)9.设有连续的一阶偏导数，且又设求在点处沿从到方向的方向导数. (02级高数期中卷)10.试在椭圆面上找一点，使在点取得最大值，并求函数在点的梯度向量与在点的法向量. (02级高数期中卷)重积分1. 计算积分 （02级高数期末（A卷）2. 利用二重积分计算由平面及所围空间几何体的体积.（02级高数期中卷）3. 设是由曲面与平面围成的实心体，其质量分布是均匀的，求的体积和质心坐标. （02级高数期末（A卷）4. 计算，其中积分区域由平面及所围成. （02级高数期中卷）5. 设是由曲面和曲面围成的密度为的均匀几何体.试计算关于轴的转动惯量. （02级高数期中卷）6. 设，其中试求极限 (02级高数期中卷) 曲线积分与曲面积分1. 计算第一类曲面积分，其中为球面（02级高数期末（A卷） 2. 设曲线积分与路径无关，求常数的值. （02级高数期末（A卷）3. 已知是某二元函数的全微分，其中有连续的一阶导数且，求的表达式.(02级数分期末（A卷）)4. 设，求并验证 （02级高数期末（A卷）5.设是锥面包含在圆柱面内部的部分，其上任一点的面密度为，求曲面的质量. （00级高数期末（A卷）6.计算，其中是由直线上从到上的一段及圆弧上从到的一段连接而成的有向曲线. （00级高数期末（A卷） 7.计算第二类曲面积分其中为半球面，积分沿的上侧. （02级高数期末（A卷）8.计算，其中是由曲线绕轴旋转一周所生成的曲面，它的法向量与轴正向的夹角恒大于 （99级高数期末（B卷）9.已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关，且，试求 （99级高数期末（B卷）10.设函数在内具有一阶连续偏导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为记（1） 证明曲线积分与路径无关；（2） 当时，求的值. (02年考研（卷一）)11计算曲面积分，其中是由曲面及两平面所围成立体表面的外侧. （94年考研（卷一）12设是闭区域的正向边界曲线，求证： （02级高数期末（A卷）13. 设有曲线积分，试在以下两种情况下求积分的值：（1）为椭圆的逆时针方向，其中为任意正实数；（2）为圆的逆时针方向. （02级高数期末（B卷）级数1 试判别数项级数的敛散性. （02级高数期末（A卷）2 试判别数项级数的敛散性. (00级高数期末（A卷）3 求幂级数的收敛半径及收敛区间，并研究其在收敛区间端点处的敛散性. （02级高数期末（A卷）4 将展成的幂级数，并求的值.（02级高数期末（A卷）5 求幂级数的收敛域及和函数. (02级数分期末（A卷）)6 求幂级数的收敛半径及和函数. （02级高数期末（B卷）7 设求 （01级高数期末（B卷）8 求级数的和. （93年考研（卷一）9 将函数展开成的幂级数，并求级数的和.（03年考研（卷一）10. 设是以为周期的函数.当时已知的级数展开式为，记其和函数为，求和的值，并证明: (02级数分期末（A卷）)11.设是以为周期的函数.当时已知的级数展开式为，求的值及和数 （02级高数期末（A卷）12.设（1）求的值；（2）试证：对任意常数，级数收敛. (01级高数期末（B卷）)13.设，证明：（1） 存在；（2） 级数收敛. （97年考研（卷一）14.设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛. （94年考研（卷一）15.设有方程，其中为正整数.证明此方程存在唯一正实根,并证明当时,级数收敛. （04年考研（卷一）答案多元微分学：1. 2. 3. 4. 点和点均是的驻点. 点是极小值点；点不是极值点. 5.6. 7. 8.(或 9. 10.在点取得最大值， 在点的法向量重积分1. 2. 为直线及围成的三角形区域.3 4. 5. 6. , 曲线积分与曲面积分1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 910.(1) （2）11. (注意：本题不能用将其化为三重积分计算)12. 证 由公式 ,再由区域的对称性（关于直线）， 13(1) . a) 取充分小，使椭圆位于圆周的内部，以表示介于与之间的平面有界闭区域，由公式， ，级数1收敛. 2. 由收敛，发散，故原级数发散.3. 收敛半径；收敛区间为；时级数发散，时级数收敛.4. 5. 收敛域为；和函数 6. 收敛半径和函数 7 8. 9 10 证 11 12(1) (2) 于是，13（1） ，数列单调递减且有下界，所以存在. (2) 法一：由（1）知，级数的部分和数列收敛法二：令利用递推公式有14由知将在处展开为二阶泰勒公式： 再由在包含原点的某一小闭区间