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文档简介

1,Lebesgue积分的极限定理,已接触的例子？,在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：,在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积 分与极限可以交换次序，,而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！,即积分与极限是否可以交换次序？,3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理,定理3.2.1（Lebesgue基本定理）,则,证明关键：Levi渐升列积分定理。,3,3,注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。,证明：令,故由Levi定理，,非负单调递增可测函数列且,积分对积分域的可列可加性,5,5,由于,类似的，,6,6,于是正项级数,不妨设,与,至少一个有限，,特别的，,因而对每个,故,8,8,9,9,证明：考虑非负函数,则 非负可测单调递增，且,利用Levi定理，,定理3.2.3(Fatou引理),注：Fatou引理中，不等号可能会出现。,11,11,注：Fatou引理中，不等号可能会出现。,则,例子：考虑 上非负函数列,但是当 时，,即极限函数,于是，,高斯分布,12,12,即得2）。,2）在对函数列,应用1）的结果，并意到,证明：1）对函数列,应用Fatou引理即得1）；,13,13,定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理),设,且有,且,左侧极限存在？,证明：由于,为可测函数。进而由,因此,知：,考虑,上可积函数列,由于,由Fatou引理，,14,14,15,15,即,由于,得,即,最后，由,，则,，,且,17,17,记：,类似上面定理，只需要证明,证明：由于,由Riesz定理，存在子列,由Lebesgue控制收敛定理，,18,18,因为,，必有,于是,这与上述不等式矛盾。因此结论成立。,19,推论3.2.6(有界收敛定理),设,一致有界，即存在常数,若,注：Fatou引理常用于判断非负极限函数的可积性质； 控制收敛定理则给出积分与极限可换序的充分条件。,应用控制收敛定理关键在于找出控制函数！,上常函数可积，有：,20,20,证明：定义函数,由非负可测函数列逐项积分定理（Lebesgue基本定理）,22,由于,因此有：,由控制收敛定理，,23,23,在微积分中，交换积分运算与极限运算次序是研究含参变量积分的主要工具。,24,定理3.2.8对于上述参变积分，如下结论成立：,其中,2)若,的偏导数,存在，且存在,则,25,证明：1,定义函数列,由控制收敛定理，,（关键在于将收敛转化为序列的收敛）。,26,26,于
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