2020版高考数学复习第三章导数及其应用第6讲利用导数研究函数零点问题分层演练.docx

第6讲 利用导数研究函数零点问题1(2017高考全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()ABC D1解析：选C由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a.故选C2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析：选Bf(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：不符合题意，排除A、C当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示不符合题意，排除D.3已知函数f(x)aln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论解：(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)()ln x，令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0xe2，所以f(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增(2)由(1)得f(x)minf(e2)a，显然a时，f(x)0，无零点，a时，f(x)0，有1个零点，a时，f(x)0，有2个零点4已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x(aR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x12ln x，则f(x)1，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)因为f(x)0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x，f(x)0恒成立，即对x，a2恒成立令h(x)2，x，则h(x)，再令m(x)2ln x2，x，则m(x)0，故m(x)在上为减函数，于是，m(x)m42ln 30，从而h(x)0，于是h(x)在上为增函数，所以h(x)h23ln 3，所以a的取值范围为23ln 3，)5(2019武汉调研)(1)求函数f(x)的最大值；(2)若函数g(x)exax有两个零点，求实数a的取值范围解：(1)对f(x)求导得，f(x).易知当0xe时，f(x)为减函数，所以f(x)f(e)，从而f(x)的最大值为.(2)当a0时，g(x)ex在R上为增函数，且g(x)0，故g(x)无零点当a0，ge10时，由g(x)exa0可知g(x)在xln a处取得唯一极小值，g(ln a)a(1ln a)若0a0，g(x)无零点，若ae，则g(x)极小0，g(x)只有一个零点，若ae，则g(x)极小a(1ln a)0，由(1)可知，f(x)在xe时为减函数，所以当ae时，eaaea2，从而g(a)eaa20，所以g(x)在(0，ln a)与(ln a，)上各有一个零点综上，当ae时，f(x)有两个零点6(2018高考全国卷)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解：(1)当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0解得x32或x32.当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(