刚体运动学、转动惯量、定轴转动.ppt

教材：5.1与5.3节（回忆角量系统） 作业：练习4（只能做部分）,一、刚体、刚体的运动 二、定轴转动（回忆角量系统） 三、刚体定轴转动时角动量的形式 四、转动惯量（复杂的数学求解积分过程不做考试要求）,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation),一、刚体、刚体的运动,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .,刚体的一般运动,加,角位移,角坐标,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,二、刚体的定轴转动(Fixed-axis rotation),角量系统,角加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一维（类似质点的直线运动）,定轴转动的特点,刚体定轴转动（类似质点的直线运动只需一维坐标来描述）,方向始终平行于转轴，可以用角速度的正负来表示具体的方向,方向也始终平行于转轴，可以用的正负来表示是变大还是变小。,Dw 0,Dw 0,0,0,（其中 、都为代数量，有正负）,质点直线运动或刚体平动,刚体的定轴转动,速度,角速度,加速度,角加速度,位移,角位移,v,r,x,1,t,x,(,),r,1,(,),t,(,),q,q,q,w,a,b,v,匀速直线运动,s,s,v,t,匀角速定轴转动,q,w,t,匀变速直线运动,匀变角速定轴转动,q,2,v,2,a,s,w,2,2,2,b,q,v,v,0,+,w,+,b,t,定轴转动时，角量与线量的关系式,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,转轴 ，角速度 刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为,三、定轴转动刚体的角动量,在轴上确定正方向，角速度表示为代数量，则定义质点对 z 轴的角动量（即质点对参考点o的角动量在z轴上的投影）为:,刚体对 z 轴的总角动量为：,对质量连续分布的刚体：,刚体对 z 轴的总角动量为: （即质点对轴上某参考点o的角动量在z轴上的投影）,令,转动惯量J,四、新概念：转动惯量(Moment of inertia ),转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和,质点系的转动惯量,国际单位制中转动惯量的单位为千克米2（kgm2）,单个质点的转动惯量,质量连续分布的 刚体的转动惯量,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,积分元选取：,几种常见刚体的转动惯量,注意：此处的m是挖掉后的刚体质量。公式是对的,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,对同轴的转动惯量具有可加减性。,平行轴定理,正交轴定理,对平面刚体,两个常用定理（证明略）,式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离 。,若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如上关系,例、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标取线元dm=dx做微元,改变坐标，,结果不变,微元到转轴的距离r实际的表达式和积分范围必须要与所取的坐标符合,例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,I是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,从圆环到圆盘（圆柱体），选择合适的微元，避免二重积分,例、求质量为m、半径为R的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环为微元,例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令 ，即 ，积分,得,当t=300s 时,所以,角量系统,习 题 训 练,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转数,例、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环柱为微元,转动惯量与l无关，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2,练习,1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量,2. 一长为 的细杆，质量 均匀分布 ，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。,练习,3. 求质量 m ,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量,练习,4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量,练习,运用上题结果,练习,解2：,解3：,解1：,如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将两质点换位再作计算。,解：,例题1 ：,由,结论：,内半径为 R1 外半径为 R2 质量为 m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。,解：,例题5 ：,质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。,解：,例题6 ：,在球面取一圆环带，,半径,质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。,解：,例题7 ：,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,为什么要引入“转动惯量”概念,1步、质点系对固定点的角动量定理 作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的对时间的变化率,对所有质点求和有：,证明：,得：,故得证：,2步、质点系对轴的角动量定理,如果质点系内所有质