九年级数学一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题素材新版湘教版.docx

第2课时图形面积和几何问题 素材一 新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与近代的解法相似下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步答：阔二十四步，长三十六步这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？说明与建议 说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题目内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想悬念激趣如图251，小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子如果要求长方体盒子的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？图251说明与建议 说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生学习的兴趣建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具 素材二 教材母题挖掘教材母题第51页例3如图252，一长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化若已知绿化面积为540 m2，求道路的宽图252【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不变”的道理，把纵、横的路平移到一起，利用面积的和差解决问题有关面积问题的常见图形有如下几种：图253【变式变形】1兰州中考 如图254，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路的宽为x米，则根据题意可列出方程为_(22x)(17x)300_ 图254 图2552.如图255，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的长方形花坛，木篱笆长为33 m，墙长为15 m，问花坛的两邻边长分别为多少米才能使木篱笆正好合适？答案：垂直于墙的一边长为10 m，平行于墙的一边长为13 m3如图256，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？答案：700元图256 素材三 考情考向分析命题角度1 列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：形状面积变化，周长不变；容器形状改变，但容积不变；原料体积成品体积，从而找出题中的等量关系，列出方程例襄阳中考 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形设长方形的长为x cm，则可列方程为(B)Ax(20x)64Bx(20x)64Cx(40x)64 Dx(40x)64命题角度2 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到等量关系，几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割例如本课素材二教材母题挖掘命题角度3 列一元二次方程解决存在性问题列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解如果方程有解，就说明假设成立；如果方程无解，则说明假设不成立例淮安中考 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米(1)求y关于x的函数关系式(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由解：(1)yx(16x)x216x(0x16)(2)当y60时，x216x60，解得x110，x26，所以当x10或x6时，围成的养鸡场的面积为60平方米(3)当y70时，x216x70，整理得x216x700，由于256280240，因此该方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场命题角度4 列一元二次方程解决运动型问题运动型问题一般需根据“路程速度时间”求出图形中的相应边的长，再列等量关系解决问题，这类题目一般和函数问题、几何图形性质综合考查，题目综合性较强例如课本P53练习第2题例泉州中考 某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型如图257所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：lt2t(t0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.图257(1)甲运动4 s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t4 s时，lt2t8614(cm)答：甲运动4 s后的路程是14 cm.(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm，甲走过的路程为t2t，乙走过的路程为4t，则t2t4t21，解得t3或t14(不合题意，舍去)答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：32163(cm)，则t2t4t63，解得t7或t18(不合题意，舍去)答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s. 素材四 教材习题答案1如图，在长为100 m，宽为80 m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化若要使绿化面积为7644 m2，则道路的宽应为多少米？解：设路宽为x m，则：(100x)(80x)7644，解得：x12.x2178(舍)答：道路的宽为2米2如图，在RtABC中，C90，AC8 cm，BC6 cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1 cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为RtABC面积的一半？解：由题意得，PC8x，QC6x，则：(8x)(6x)68，解得：x12，x212(舍去)P53习题2.51某市政府为落实保障性住房政策，去年已投入3亿元资金，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元资金用于保障性住房建设求这两年中投入资金的年平均增长率解：设年平均增长率为x.则：3(1x)212，解得：x1或x3(舍)答：这两年中投入资金的年平均增长率为100%.2某店只销售某种进价为40元/kg的特产已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10 kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元(1)每千克该种特产应降价多少元？(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？解：(1)设每千克降价x元，由题意得，(10x100)(20x)2240，解得：x14，x26.答：每千克降价6元或4元(2)设应按原售价的x折出售，由题意得，60606，解得：x9.答：应按原售价的9折出售3某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等)解：设宽度为x米，由题意得，(20x)(302x)532，解得：x11，x234(舍)答：小道进出口宽度应为1米4如图是某年8月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，求这9个数中的最大数解：设最小的数为x，则最大数为x16，由题意得，x(x16)192，x18，x224(舍)，x1624.答：这9个数中的最大数为24.5某旅行社在某地组织旅游团到北京旅游参观，每人的交通费、住宿费、门票费等费用共需3200元，如果把每人收费标准定为4600元，那么只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加；从4600元每降低100元，参加人数就增加10人每人收费标准定为多少时，该旅行社从这个旅游团可获取利润64 000元？解：设应降低x元，由题意得，(1400x)64 000，解得：x600.答：应把收费标准定为4000元6(古代数学问题)直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何摘自古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？解：设长为x步，宽为(60x)步，则：x(60x)864，解得：x124，x236.答：长为36步，宽为24步7如图，在矩形ABCD中，BC24 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D同时出发，分别沿边AD，BC，CB，DA移动，且当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动已知移动一段时间后，若BQx cm(x0)，则AP2x cm，CM3x cm，DNx2 cm.(1)当x为何值时，P，N两点重合？(2)问Q，M两点能重合吗？若Q，M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q，M两点不能重合，请说明理由(3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？解：(1)由题意得，x22x24，解得：x14，x26(舍)(2)假设Q，M两点能重合，由题意得，x3x24，解得：x6.若x6，则DNx236，Q，M两点不能重合(3)当BQDN且CMPA时，四边形PQMN为平行四边形，此时不成立或当PNQM时，四边形PQMN也为平行四边形则：242xx224x3x，解得x2. 素材五 图书增值练习专题一 一元二次方程在参数问题中的应用1定义adbc.上述记号叫做二阶行列式若6，求x的值2已知ABC的两边长是6、10.第三边长是方程x212x320的根求ABC的周长，并判断ABC的形状3已知关于x的方程x2(2k1)x40，求证：这个方程总有实根；若等腰ABC的一边长a4，另两边b、c恰好是这个方程 的两个根求ABC的周长专题二 一元二次方程在实际问题中的应用4用12 m长的一根铁丝围成长方形(1)如果长方形的面积为5 m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？(2)能否围成面积是10 m2的长方形？为什么？(3)能围成的长方形的最大面积是多少？5某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为x元，则可卖出(35010x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少商品？每件商品应售价多少元？专题三 一元二次方程在几何计算中的应用6如图，四边形ABCD是一边长为20的正方形，点E，F分别在边AB、AD上，若AE2AFCEF的面积是176，求AF的长参考答案：1分析：弄清二阶行列式的运算法则，依葫芦画瓢列出相应的等式解：依题意得(x1)2(1x)(x1)6.即(x1)2(x1)26，2x24，x.2解：方程x212x320的根为x14，x28.当x4时，4610.4,6,10不能组成三角形当x8时，6810，又6282102.该三角形为直角三角形，周长为24.3解：(2k1)2444k24k116k84k212k9(2k3)20，该方程总有实根若等腰ABC的腰长为4.则b，c两数中有一个为腰长4.设b4，依题意得424(2k1)40，解得k.由根与系数的关系得bc2k1，4c6，c2.此时ABC三边分别为4,4,2.周长为10；若a4为等腰ABC的底边，则bc.此时方程有两个相等的实数根(2k3)20，2k3，k，bc2k14，bc2.但224，不能构成三角形，舍去ABC的周长是10.4解：(1)设长为x m，则宽为(6x)m.依题意有x(6x)5，解得x11(舍去)，x25.长为5 m宽为(65)1( m)(2)依题意x(6x)10，化简得x26x100.624100，方程无解不能围成面积是10 m2的长方形(3)S矩形x(6x)x26xx26x99(x26x9)9(x3)29.当x3时，S最大值9 m2.5解：依题意得(x21)(35010x)400，化简得x256x7750，解得x131，x225.当x31元时，此时单件加价(3121)10元而2120%4.2元，104.2，x131不合题意，舍去当x25元时，此时单件商品加价(2521)4元44.2，符合题意当x25元时，可卖出(35010x)100件.答：可卖出100元，每件售价为25元归纳总结 在利润问题中：单件利润售价进价总利润单件利润销售数量这两个关系式要熟记，解出结果后还要注意检验结果与实际问题是否相符6分析：利用已知条件，想方设法用代数式表示CEF的面积，从而列方程求解解：设AFx.则EA2x，FD(20x)，BE(202x)SCEFS正方形ABCD(SAFESCFDSCBE)400x2x20(202x)20(20x)40060x8002x240030x400x2x230x.由已知得x230x176，x230x1760.解得x122，x28.当x22时AE2x4420(不合题意，舍去)AF的长为8.【方法规律】求不规则的图形面积时，常转化为求多个规则图形面积之差(和)，从而利用起看似根本无用的已知条件求解 素材六 数学素养提升列一元二次方程解决阅读理解问题阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题.因此，在用一元二次方程解决阅读理解问题时要注意：认真阅读材料，留心知识情景、数据、关键词句；全面分析，理解材料的基本原理；对相关信息进行归纳，加工提炼，进而构建方程模型来解答. 例.（2014凉山州）实验与探究：三角形点阵中前n行的点数计算下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点容易发现，10