考点1等差数列的判定与证明.doc

考点2 等差数列的判定与证明1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或2.等差数列的通项公式已知等差数列的首项是，公差是，求 由等差数列的定义：， ， 所以，该等差数列的通项公式：3.等差中项若a，b，c三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b叫a，c的等差中项4.等差数列的前项和公式 公式二又可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式5. 性质：等差数列an中，公差为d，若d0，则an是递增数列；若d=0，则an是常数列；若d0，则an是递减数列 成等差数列，且公差为md。 6. 充要条件的证明：考法1 等差数列的判定和证明（1）定义法：对于n=2的任意自然数，an-an-1为同一个常数（2）等差中项法：2an-1=an+an-2 判定（3）通项公式法 判定（4）前n项和公式法:Sn=An2+Bn 判定考法2 等差数列的基本运算等差数列an中，a1和d是基本的两个量，可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式，与等差数列有关的基本计算问题，主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共有五个量：a1、d，n，an，sn例1：(2013浙江)( 14分)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.例2：(2013四川)(本小题满分12分)在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和考法3 等差数列的性质（首项、项数、公差）例3：在等差数列中，a2=1，a4=5,则的前5项和=B A.7 B.15 C.20 D.25 (二)解题方法指导例1设an是等差数列，前n项和为Sn.(1)已知a6=5，a3+a8=5，求a9；(2)已知a1+a2+a315，a1a2a380，求a11+a12+a13；(3)已知a10=10，S10=70，求公差d；(4)已知S3=9，S6=36，求a7+a8+a9例2已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )(A)2(B)3(C)4(D)5例3已知函数()若x1+x2=1，求f(x1)+f(x2)的值；()设，求数列an的前2010项的和例4数列an的前n项和为Sn=npan(nN*)且a1a2，()求常数p的值；()证明：数列an是等差数列例 题 解 析等差数列例1分析：等差数列的基本量a1，d的应用及通项公式、前n项和公式是解决问题的基本方法和思路.解：(1)由a65，a3a85，得(53d)(52d)5，所以d5.a9a63d53520.(2)由a1a2a315，得a25.又a1a2a380，即(5d)5(5d)80.d3.当d3时，a11a12a13(a1a2a3)30d15330105；当d3时，a11a12a13(a1a2a3)30d15(3)3075.(3)由a1010，S1070，得，所以a14.故(4)由于数列an成等差数列，S3，S6S3，S9S6也成等差数列，a7a8a92(S6S3)S32S63S3722745.小结：(1)灵活运用等差数列中的公式anam(nm)d及其变形公式解决问题；(2)数列an成等差数列，Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等差数列.例2分析：由等差数列的前n项和的特点，知其常数项为零，可设出相应和的形式或利用等差数列的中项性质解决.解：由题意，设An(7n45)nk，Bn(n3)nk，则anAnAn114nk38k，bnBnBn12nk2k，要使为整数，则正整数n1，2，3，5，11，故选D解二：下同法一.小结：本题解法颇多，对通项与前n项和的关系进行必要的考查.例3分析：利用题()，寻找规律.解：()由x1x21，得x21x1.f(x1)f(x2)f(x1)f(1x2)()1005小结：本题求和体现了等差数列的求和公式的推导方法：倒序相加.例4分析：(1)注意讨论p的可能取值.(2)运用公式求an.解：()当n1时，a1pa1，若p1时，a1a22pa22a2，a1a2，与已知矛盾，故p1.则a10.当n2时，a1a22pa2. (2p1)a20.a