《平稳过程的谱分析》PPT课件.ppt

第7章 平稳过程的谱分析,内容提要,平稳过程的谱密度 谱密度的性质 窄带过程和白噪声过程 联合平稳过程的互谱密度 平稳过程通过线性系统的分析,7.1 平稳过程的功率谱密度,帕塞伐公式：,普通时间函数 x(t) 的谱分析,能谱密度,功率密度,截尾 函数：,平稳过程的谱分析,设 X(t) 是均方连续的随机过程，,功率谱密度,功率谱密度,定义 设 X (t), t 是均方连续的随机过程，称 为 X (t) 的平均功率。称 为 X (t) 的功率谱密度，简称谱密度。,当 X (t) 是均方连续的平稳过程时，,解,例1(例7.1)设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率 (1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量； (2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。,(1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，,相关函数：,平均功率：,(2),平均功率：,X (t) 是非平稳过程,对平稳随机序列 ，均值为0，如果 当 在 上取值时，若 绝对一致收敛，则 是 上的连续函数，称 为平稳序列 的谱密度。这时,目录,7.2 功率谱密度的性质,设 X (t), t 是均方连续平稳过程， RX () 为它的相关函数，其功率谱密度 sX ()具有如下性质：,(1) （维纳-辛钦定理）若 ，则 sX () 是 RX () 的傅里叶变换；,当 X (t) 为实平稳过程时，,谱密度的性质,sX () 是 的实值非负函数； 实平稳过程的谱密度是偶函数；,(4) 当 sX () 是 的有理函数时，其形式必为,其中 a2ni, b2mj (i=0, 2, , 2n, j=2, 4, , 2m) 为常数，且 a2n 0, m n，分母无实根。,单边功率谱,单边功率谱实平稳过程的谱密度 sX () 是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。,例2 (例7.2),解,已知平稳过程的相关函数为 ，其中 a 0, 0 为常数，求谱密度 sX () .,例3 (例7.3),已知平稳过程的谱密度为 ，求相关函数 RX ()及平均功率2.,例4 (例7.5),设平稳随机序列的谱密度为 求相关函数 RX (n).,目录,常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P120）,7.3 窄带过程及白噪声过程,相关函数：,窄带随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围内。,谱密度：,函数,具有下列性质的函数称为函数：,注 1与 () 是一对傅式变换。, 函数有一个重要的运算性质，即对任何连续函数 f(x):,或,因此,白噪声过程,定义 设 X (t), t 为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 sX () = N0 ( ) ，则称 X (t) 为白噪声过程。,相关函数：,定义 称均值为零、相关函数 RX () = N0 () 的实平稳过程为白噪声过程。,目录,7.4 联合平稳过程的互谱密度,定义 设 X (t) 和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY() 满足 ，则称 是 X (t) 和 Y (t)的互功率谱密度，简称互谱密度。,互谱密度的性质,(1),(3),(4) 若 X (t) 和 Y (t) 相互正交，则,(2) ResXY() 和 ResYX() 是 的偶函数，而ImsXY() 和 ImsYX() 是的奇函数；,联合平稳过程的谱密度,若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则,设 X (t) 和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是平稳相关的， W (t) = X (t) + Y (t) ，则,例3 如图所示X (t) 是平稳过程，分析过程Y (t)的平稳性，并求Y (t)的谱密度。,解,Y (t) 是平稳过程。,目录,线性时不变系统,系统：,线性系统：,时不变系统：,7.5 平稳过程通过线性系统的分析,下列微分算子和积分算子是线性时不变的,（1）,（2）,频率响应与脉冲响应,对于线性时不变系统，输出 y (t) 等于输入 x (t)与单位脉冲响应 h (t) 的卷积，,傅式变换输出频谱Y () 与输入频谱 X () 的关系：,定理1,设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号 x(t)=eit 时，则输出为,其中,随机过程通过线性系统的输出,设线性系统的单位脉冲响应为 h (t) ，当输入一个随机过程 X (t) 时，其输出随机过程 Y (t) 为,傅式变换：,线性系统输出的均值,设线性系统的输入随机过程 X (t) 的均值为 mX(t) ，则其输出过程 Y (t) 的均值为,当输入过程 X (t) 为均值平稳时，,线性系统输出的相关函数,设线性系统的输入随机过程 X (t) 的相关函数为 RX(t1,t2) ，则其输出过程 Y (t) 的相关函数为,当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，,输出与输入的互相关函数,同理，,当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，,输出相关函数,输出过程的平稳特性,当线性系统输入一平稳过程 X (t) 时，其输出过程 Y (t) 的均值 mY(t) 为常数，相关函数 RY(t1, t2) = RY() 只与时间差 有关，故输出过程 Y (t) 也是平稳的。 由于互相关函数 RYX() 和 RXY() 也都只与时间差 有关，故输出过程 Y (t) 与输入过程 X (t) 之间还是联合平稳的。,例4 (例7.14)（h(t) 的估计）,设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则,假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，,线性系统的谱密度,设线性系统的频率响应函数为H()，当输入平稳过程 X(t) 具有谱密度 sX() 时，则输出平稳过程 Y(t) 的谱密度为,例5 (例7.15)如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。,解,例6 (例7.17)如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入