《曲面的概念》PPT课件.ppt

第二章 曲面论 2.1 曲面（Surface）的概念,2.1.1 简单曲面及其参数表示 定义1 平面上不自交的闭曲线称为约当（Jordan）曲线 换句话说，简单曲线自身不相交,若当定理：平面上一条闭合（首尾相接）的若当曲线，把平面分成2个区域如果在这两个区域内分别取一点，再用一条曲线将其相连，则这条连线必定和原来的闭合若当曲线相交 它的证明需要用到拓扑学的知识,约当曲线分平面为两部分： 1）中间一个是有限的； 2）另一个是无限的 初等区域：每一部分都以约当曲线为边界，其中有限的区域称为初等区域 初等区域是若尔当曲线的内部 例子：正方形或矩形的内部，圆或椭圆的内部等,简单曲面：如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射（同胚映射），则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面 例子：1. 矩形纸片（初等区域）； 2. 可以卷成带有裂缝的圆柱面； 3. 圆环面,定义2 给出平面上一初等区域 G，G 中的点的 笛卡儿坐标是（u，v），G 经过同胚映射后的 象是曲面 S对于空间的笛卡儿坐标系来说，S 上的点的坐标是（x，y，z），曲面的解析表达 式： 称为曲面 S 的参数方程，u 和v 称为曲面 S 的参 数坐标或曲纹坐标,曲面的参数方程简写成 曲面的向量函数的形式：,例1 圆柱面：G 是长方形 圆柱面的参数方程为 其中 R 为截圆 的半径,例2 球面：G 是长方形， （经度）， （纬度），球面的参数方程为 其中 R 是球面 的半径,例3 旋转面：考虑 xOz 平面上的曲线（C）： 把此曲线绕 z 轴旋转，则得一曲面，称为旋转 面它的 G 是一长方形：,旋转面的参数方程为,定义3 初等区域 G 所在平面上的坐标直线： 在曲面上的象称为坐标曲线,u 曲线： v=常数， u 变动时的曲线叫做 u 曲线 v 曲线： u=常数， v 变动时的曲线叫做 v 曲线,曲纹坐标网：两族坐标曲线 u 曲线（v=常数）与 v 曲线（u=常数）在曲面上构成的坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网,例4 圆柱面 曲线（z=常数）： 垂直于 z 轴的平面和圆柱的交 线，它们都是圆 z-曲线（ 常数）： 是圆柱面的直母线,例5 球面 曲线（ 常数）：是球面上等纬 度的圆（纬线） 曲线（ =常数）：是球 面上过两极的半圆子午线 （经线）,例6 旋转面 曲线 （t=常数）：是垂直 于 z 轴的平面和旋转 面的交线平行圆 （纬线） t 曲线（ 常数）： 是旋转面的母线子 午线（经线）,2.1.2 光滑曲面的切平面和法线,定义4 如果曲面方程 或 中的函数有直到 k 阶的连续偏微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面 特别地， 类曲面又称为光滑曲面,定义5 过曲面上每一点 有一条 u-曲 线： 又有一条 v-曲线：,在曲面上 点处的这两条坐标曲线的切向 量分别为,如果它们不平行，即 在 点不等于 零，则称 点为曲面的正常点 以后我们只讨论曲面的正常点,定义6 由 和 的连续性（因为曲面是光 滑的），如果 在 处不为零，则 总存在 的一个邻域 U ，使得在此邻 域内 于是，在这片曲面上，有一族 u-曲线和一 族 v-曲线满足：,经过曲面上每一点有惟一的一条 u-曲线 和惟一的一条 v-曲线，而且这两族曲线彼 此不相切 这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐 标网,命题1 曲面在正常点的邻域 U 中总可以有 形式的参数表示 证明：由于在正常点的邻域 U 内 ， 即矩阵 的秩为2,即三个行列式 中总有一个行列式在 的邻域 U 中不为 零,假设第一个行列式不等于零，则由隐函数的存 在定理， 在 U 中存在惟一一对单值的连续可微函数,则曲面在邻域 U 上的参数表示可以写成 即,命题2 曲面上正常点处的所有切方向都在过该 点的坐标曲线的切向量 所决定的平面 上 证明：若曲面上点的曲纹坐标由下列方程来确 定： 其中 t 是自变量,把它们代入曲面的参数方程中，则这种点的向 径可以用复合函数来表示： 于是 r 可以表示为一个变量 t 的函数当 t 在某一 区间上变动时， r 的终点在空间中描绘一条曲 线因此在曲面上确定某一曲线,该曲线在曲面上 点处的切方向称为曲面 在该点的切方向或方向它平行于 分别是在点 的两条坐标曲线的切向 量,上式说明 共面，所以 命题2 成立 称此平面为曲面在这一点的切平面 将下式 写成,这样 所决定的曲面的切方向，完全依 赖于 的比值,曲面上一点 的切平面的方程,设 表示切平面上的任意点 M 的向径，则 共面,由此得出曲面点的切平面的方程为： 写成坐标的形式,曲面形式的参数表示,对于曲面 形式的参数表示 其中,则曲面在点处的切平面的方程是 即,其中,定义7 曲面在正常点处垂直于切平面的方向称 为曲面的法方向过这点平行于法方向的直线 称为曲面在该点的法线,曲面的法向量为 于是曲面的单位法向量为,曲面的法线方程,曲面的法线是通过点 ，并且平行于法 方向的直线，因而它的方程可写为 即 其中 是法