随机事件与概率

P35-1,概率论与数理统计,2010年3月,主讲：张福利,P35-2,本课程考核方式：,1. 网上看到的平时成绩，总评中占30% （期中考试成绩2真正的平时成绩1）3,2. 期末考试成绩，总评中占70%,P35-3,1.微积分 2.线性代数（少量知识） 3. 基本的排列、组合理论,所需的先修课程：,P35-4,第一章 随机事件与概率 12学时 第二章 随机变量的分布与数字特征 16学时 第三章 随机向量 16学时 第四章 数理统计的基础知识 6学时 第五章 参数估计与假设检验 14学时 第六章 方差分析 不讲 第七章 回归分析 8学时,概率论与数理统计学时分配,P35-5,第一章内容提要框图,事件的概率,事件的频率,条件概率,事件的独立性,随机现象,P35-6,一、随机现象,在自然界和人类社会中普遍存在着两类现象： 1. 确定性现象：,在一定条件下必然发生的现象；,2. 随机现象：,事先无法准确预知其结果的现象.,二、随机现象的统计规律性,1.随机现象的统计规律性是指随机现象在大量重复 出现时所表现出来的量的规律性,11 随机事件,P35-9,例2 投掷一枚骰子 观察其出现点数的试验. 有6个样本点 1点 2点 6点 (1) 样本空间为1点 2点 6点 (2) 样本空间为1 2 6 ,1.样本点(用表示)：,随机试验的每一个可能结果.,2. 样本空间(用表示)：,所有样本点所构成的集合.,三、样本空间,P35-10,例3 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数. 其样本点有可数无穷多个,1.样本点(用表示)：,随机试验的每一个可能结果.,2. 样本空间(用表示)：,所有样本点所构成的集合.,(1) 样本空间为0次 1次 2次 (2) 样本空间为0 1 2 ,i次 i0 1 2 ,三、样本空间,P35-11,例4 观察一个新灯泡的寿命. 其样本点有无穷多个,1.样本点(用表示)：,随机试验的每一个可能结果.,2. 样本空间(用表示)：,所有样本点所构成的集合.,样本空间为 t|0t 0 ),t小时 0t.,三、样本空间,P35-12,四、随机事件,1.基本事件：,2.复合事件：,试验的每一个可能的结果.,3.随机事件(简称事件)：,由若干基本事件复合而成的事件.,是基本事件和复合事件的统称. 常用A B C,表示随机事件 ,例1 在投掷一枚骰子的试验中 分别记,B = “奇数点” ; C = “偶数点” ; D = “点数为小于5的偶数”. ,= “i点” , i = 1,2,6; ,P35-13,四、随机事件,1.基本事件：,2.复合事件：,试验的每一个可能的结果.,3.随机事件(简称事件)：,由若干基本事件复合而成的事件.,是基本事件和复合事件的统称. 常用A B C,表示随机事件 ,5.必然事件(用表示) ：,每次试验中必然发生的事件.,6.不可能事件(用表示) ：,每次试验中一定不发生的事件.,4.事件A发生 ：,试验中出现事件A所包含的某个基本事件.,投掷一颗骰子 “点数小于7”是必然事件 “点数不小于7”是不可能事件,注,P35-14,1. 事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 即A为B的子集, 则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B, 记作 BA或AB,对于任何事件A有 A,五、事件间的关系和运算,P35-15,2. 事件相等,如果事件A包含事件B, 事件B也包含事件A, 则称事件 A与B相等或A与B等价.记作A=B,五、事件间的关系和运算,1. 事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 即A为B的子集, 则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B, 记作BA或AB,P35-16,3. 事件的和 (并),“事件A与B 至少有一个发生”, 即“A或B”, 是 一个事件, 称为事件A与B的和 (并). 记作 A+B 或 AB,易知 A + = A + = A,五、事件间的关系和运算,P35-17,“ n个事件A1,A2,An中至少有一个发生”,是一个事件,称为事件A1,A2,An的和(并), 记作 A1+A2+An 或 A1A2An,事件的和（并）的推广情形：,五、事件间的关系和运算,P35-18,4. 事件的积 (交),“事件A与B都发生”, 即“A且B”, 是一个事件, 称为事件 A与B的积 (交). 记作AB或AB,易知 A = A A = ,3. 事件的和 (并),“事件A与B 至少有一个发生”, 即“A或B”, 是一个事件, 称为事件A与B的和 (并). 记作A+B 或 AB,五、事件间的关系和运算,P35-19,“n个事件A1,A2,An都发生”,是一个事件, 称为事件 A1,A2,An的积(交), 记作 A1A2An 或 A1 A2 An,事件的积（交）的推广情形：,五、事件间的关系和运算,P35-20,5. 事件的差,“事件A发生而事件B不发生”, 是一个事件, 称为事件A与B的 差. 记作AB,4. 事件的积 (交),“事件A与B都发生”, 即“A且B”, 是一个事件, 称为事件A与B 的积 (交). 记作AB或AB,3. 事件的和 (并),“事件A与B 至少有一个发生”, 即“A或B”, 是一个事件, 称为 事件A与B的和 (并). 记作A+B 或 AB,五、事件间的关系和运算,P35-21,6. 互不相容事件(互斥事件),如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 则称事件A与B 互不相容(或称A与B互斥).,五、事件间的关系和运算,P35-22,7. 对立事件,“事件A 不发生”，即 “非A”，是一个事件，称为A的对立 事件(或逆事件). 记作,6. 互不相容事件(互斥事件),如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 则称事件A与B 互不相容(或称A与B互斥).,五、事件间的关系和运算,P35-23,注,(2)两事件对立必定互斥;反之未必.,(1)适用对象不同.,(3),五、事件间的关系和运算,7. 对立事件,“事件A 不发生”，即 “非A”，是一个事件，称为A的对立事件 (或逆事件). 记作,6. 互不相容事件(互斥事件),如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 则称事件A与B 互不相容(或称A与B互斥).,互不相容事件(互斥事件)与对立事件之间的联系与区别：,P35-24,8. 完备事件组,若事件A1,A2,An两两互不相容, 并且它们的和是必然事件, 即, 则称A1,A2,An构成一个完备事件组.,最常用的完备事件组是事件A与它的逆事件,五、事件间的关系和运算,P35-25,交换律：,结合律：,分配律：,摩根律：,9. 事件的运算满足下述运算律：,五、事件间的关系和运算,P35-26,例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数。,A表示“奇数点“, B表示“点数小于5“, C表示“小于5的偶数点“. 用集合的列举表示法表示下列事件:,P35-27,例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产 品不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事 件的运算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中只(恰)有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.,P35-28,例3 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件:,P35-29,例4 甲、乙、丙三人各射一次靶，记A=“甲中 靶”,B=“乙中靶”， C=“丙中靶”，用事件运算的关系式表示下列事件：,（1）甲未中靶； （2）三人中只有甲未中靶； （3）甲中靶而乙未中靶； （4）三人中恰有一人中靶； （5）三人中至少有一人中靶； （6）三人中至少有一人未中靶； （7）三人中恰有两人中靶； （8）三人中至少有两人中靶； （9）三人均未中靶； （10）三人中至多有一人中靶； （11）三人中至多两人中靶；,P35-30,补充： 1. 掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验 结果排序, 则共有多少种可能的结果:,事件A=“至少一次正面朝上”,样本空间： =(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正),A=(正,反),(反,正),(正,正),P35-31,2. 掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排 序, 则共有多少种可能的结果:,=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) = (x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6,B=“两次点数相同“ B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5