《龙贝格求积》PPT课件.ppt

第7.4-7.5节 龙贝格求积公式,龙贝格求积公式,复合求积公式,随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N-C公式又 会造成数值不稳定，因而采用复合求积公式。,复化梯形 公式,复化辛普森公式,上面的求积公式都是定长的，要达到某个精度，则必须,选取适当的长度，但是这是一件不容易达到的事情。,复合求积公式的截断误差随着n的增大而减少。,但每给一种积分方法之后，如何选择n， 使精度达到 预先选定的精度？,1 用误差估计式子。但是要求高阶导数，一般实比 较困难的。,2 在实际中一般采用自动选择积分步长。,即在求积的过程中，将步长逐步折半，反复利用复合 求积公式，直到相邻两次的计算结果之差小于容许的 范围。,逐次分半算法,。,解,例1,例 题 1,例2,解,例 题 2,例 题 2,在等距节点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。,逐次分半算法,把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a）/2，于是 T2 =T1/2+h/2f(a+h/2） 把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/2 2 =（b-a）/4，于是 T4 =T2/2+h/22f(a+h/4)+f(a+3h/4), 把a,b 2k 等分，分点xi=a+(b-a)/ 2k i （i =0，1，2 2k）每个小区间长度为(b-a)/ 2k ，由归纳法可得,逐次分半算法,复合求积方法是用于被积函数变化不太大的积分.,如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值 变化剧烈，另一部分变化平缓，这时统一将区间等份用复合 求积公式计算工作量就会很大.,要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分，而平 缓部分则可用大步长，即针对被积函数在区间上不同情形采 用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算的工作量尽 可能小.,7.4.2 自适应simpson公式,针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数 变化的剧烈程度确定相应的步长.,这种方法称为自适应积分方法.,设给定精度要求 ，计算积分,的近似值.先取步长 ，应用辛普森公式有,其中,若把区间 对分，步长 ，在每个小区间 上用辛普森公式，则得,（7.31）,（7.32）,实际上(7.32)即为,与(7.31)比较，若 在 上变化不大，可假定,其中,（7.32）,从而可得,若不等式(7.33)不成立，则应分别对子区间 及 进行误差分析，若每个区间误差是否近似在,这里 .如果有,则可期望得到,与(7.32)比较，则得,此时可取 作为 的近似，则可达到给定 的误差精度 .,(7.33),对满足要求的区间不再细分，对不满足要求的还要继续 上述过程，直到满足要求为止，,事后估计法,利用计算结果来估计误差的方法,龙贝格算法,当n=1 时,我们计算上式右端,这恰好是辛普森公式的结果，即有,比梯形公式有更好的精确度,龙贝格算法,类似地可验证：,即,龙贝格算法,龙贝格算法,可以验证,事实上 C1=(42S2-S1)/(42-1) =16S2/15-S1/15=(7y0+32y1+12y2+32y3+7y4)/90 恰为柯斯特公式。,同理， C2=(42S4-S2)/(42-1)，.,龙贝格算法,即, R1=(43C2-C1)/(43-1), R2 =(43C4-C2)/(43-1), . Rn= (43 C2n -Cn )/ (43-1); 上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列,龙贝格算法,用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推方法。,龙贝格算法,计算过程见表：,龙贝格算法,T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S