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文档简介

4.1 中值定理,4.1.1 中值定理,4.1.2 洛必塔法则,如果函数 满足条件：,则在区间 内至少存在一点 ，使,定理4.1（罗尔 定理）,4.1.1 中值定理,几何解释:,例 设 ， 在 区间显然满足罗尔定理前两个条件.且 ， ，即第三个条件也成立,例1 验证函数 在区间 上满足罗尔定理的三个条件,并求出满足 的 ,解 因 是多项式,所以在 上可导，故在 上连续， 且在 可导.,容易验证,因此， 满足罗尔定理的三个条件.,而,练习一 下列函数在指定的区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足，就求出定理中的 .,定理4.2（拉格朗日Lagrange定理）,则在区间 内至少有一点 ，使得,.,如果函数 满足条件：,几何解释:,就是满足定理结论的点.,还有下面两个推论：,推论1 如果函数 在区间 内任一点的导数 都等于零，则在 内 是一个常数.,例2 验证函数 在区间 上 满足拉格朗日定理.,例3 证明：在区间 内,练习二 下列函数在指定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理中的 .,定义 如果当 (或 )时，两个 函数 与 都趋于零或都趋于无穷大， 那么极限 可能存在，也可能不存在. 通常把这种极限称为 或 未定式。,例如,4.1.2 洛必塔法则,(2) 与 在点 的某个领域内(点 可除外)可导，且 ；,(1) ， ；,(3) （或 ）,1. 型未定式,则 （或 ）,例1 求 .,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式由洛必达法则,例2 求 ,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式.由罗必达法则,当 时，有 和 ，仍是 型未定式再用罗必达法则,例3 求 ,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式.由罗必达法则,1. 型未定式,则 或 ,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式.由罗必达法则,例4 求 ,例5 求 ,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式由罗必达法则,练习三 利用洛必达法则求下列极限,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,3. 型未定式,例6,解,例7 求 ( 型),解,(已化为 型),例8,解,步骤:,例9 求 型 .,已化为 型,解,例10,解,极限不存在
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