2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程（第2课时）直线的两点式方程讲义（含解析）.docx

第2课时直线的两点式方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95P97，回答下列问题：某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？提示：可以确定(2)根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以2归纳总结，核心必记(1)直线的两点式方程定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)，则方程，叫做直线l的两点式方程，简称两点式说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程(2)直线的截距式方程定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a0，b0)，则方程为1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式说明：一条直线与x轴的交点 (a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距(3)中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有此公式为线段P1P2的中点坐标公式问题思考(1)方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)的适用范围相同吗？提示：不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程(2)方程1和1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“”号连接，二是等号右边为1.课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线的两点式方程是什么？怎样求？；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？；(3)中点坐标公式是什么？.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：思考1怎样利用点P1，P2的坐标写出直线l的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程思考2给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)是否就可以用两点式写出直线AB的方程？名师指津：不一定只有在x1x2，y1y2的前提下才能写出直线的两点式当x1x2时，直线方程为xx1；当y1y2时，直线方程为yy1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线思考3直线的两点式方程能用(x1x2，y1y2)代替吗？名师指津：方程所表示的图形不含点(x1，y1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程讲一讲1已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(链接教材P96例4)(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程尝试解答(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100.故BC边的方程为2x5y100(0x5)(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03.M，又BC边上的中线经过点A(3,2)由两点式得，即10x11y80.故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系练一练1已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程解：A(2，1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x2.A(2，1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为，即xy30.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y60.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：思考1由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b)，利用两点式可求出直线的方程思考2怎样理解直线的截距式方程？名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线(3)过原点的直线可以表示为ykx；与x轴垂直的直线可以表示为xx0；与y轴垂直的直线可以表示为yy0.讲一讲2求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程尝试解答法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.(1)当a0，b0时，设l的方程为1.点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy1.若ab，则a7，b7，此时直线的方程为xy7.(2)当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0.法二：设直线l的方程为y3k(x4)，令x0，得y4k3；令y0，得x.又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，|4k3|，解得k1或k1或k.所求的直线方程为xy70或xy10或3x4y0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用练一练2求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程解：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为yx；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为1，将点(5,2)代入方程得1，解得a，所以直线l的方程为x2y90.综上知，所求直线l的方程为yx，或x2y90.讲一讲3直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程思路点拨利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可尝试解答由题设知，直线l不过原点，且在x轴、y轴上的截距都大于0，设直线l的方程为1(a0，b0)，则由已知可得 当ab时，可化为解得或(舍去)；当ab时，可化为解得或(舍去)所以，直线l的方程为y1或x1，即x4y40或4xy40.利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论练一练3已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A(3,4)，求直线l的方程解：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，则|3k4|3，显然k0时不成立解得k1，k2.所以直线l的方程为2x3y60或8x3y120.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用难点是直线方程两点式的推导2本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1.(2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2.(3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)学业水平达标练题组1直线的两点式方程1过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选D由直线的两点式方程，得，化简得xy10.2已知ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为()A2xy80 B2xy80C2xy120 D2xy120解析：选A点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得，即2xy80.3直线l过点(1，1)和(2,5)，点(1 002，b)在直线l上，则b的值为()A2 003 B2 004C2 005 D2 006解析：选C直线l的方程为，即y2x1，令x1 002，则b2 005.4过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A BC. D2解析：选A直线方程为，化为截距式为1，则在x轴上的截距为.题组2直线的截距式方程5(2016淄博高一检测)过P1(2,0)、P2(0,3)两点的直线方程是()A.0 B.1C.1 D.1解析：选C由截距式得，所求直线的方程为1.6直线1在两坐标轴上的截距之和为()A1 B1C7 D7解析：选B直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为4，因此截距之和为1.7直线3x2y4的截距式方程是()A.1 B.4C.1 D.1解析：选D求直线方程的截距式，必须把方程化为1的形式，即右边为1，左边是和的形式8求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解：设直线方程的截距式为1.则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20.题组3直线方程的综合运用9已知在ABC中，A，B的坐标分别为(1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程解：(1)设点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得解得C点的坐标为(1，3)(2)由(1)知：点M、N的坐标分别为M、N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程是1，即yx.10三角形的顶点坐标为A(0，5)，B(3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程解：直线AB过点A(0，5)，B(3,3)两点，由两点式方程，得.整理，得8x3y150.直线AB的方程为8x3y150.又直线AC过A(0，5)，C(2,0)两点，由截距式得1，整理得5x2y100，直线AC的方程为5x2y100.能力提升综合练1在y轴上的截距是3，且经过A(2，1)，B(6,1)中点的直线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选BA(2，1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为1，将点(4,0)代入方程得a4，则该直线的方程为1.2已知直线axbyc0的图象如图，则()A若c0，则a0，b0B若c0，则a0，b0D若c0，b0解析：选D由axbyc0，得斜率k，直线在x、y轴上的截距分别为、.如题图，k0.0，0，ac0 ，bc0.若c0，b0；若c0，则a0，b0.3(2016唐山高一检测)下列命题中正确的是()A经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示C经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示D不经过原点的直线都可以用方程1表示解析：选CA中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为xx0；B中经过定点A(0，b)的直线x0无法用ykxb表示；D中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程1表示只有C正确，故选C.4两直线1与1的图象可能是图中的()解析：选B由1，得到yxn；又由1，得到yxm.即k1与k2同号且互为倒数5过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_解析：设直线方程为1，则解得a2，b3，则直线方程为1.答案：16直线l过点P(1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_解析：设A(x,0)，B(0，y)由P(1,2)为AB的中点，由截距式得l的方程为1，即2xy40.答案：2xy407直线l过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的