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,第五节 连续函数的性质,一 连续函数的运算性质,二 闭区间上连续函数的性质,三 小结与思考判断题,定理1,例如,1、四则运算的连续性,一、连续函数的运算性质,定理4,例如,定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,例1,解,例2,解,同理可得,二、初等函数的连续性,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例1,例2,解,解,初等函数求极限的方法代入法.,例3 求,解,不能应用差的极限运算法则，须变形 先分子有理化，然后再求极限,例4 求,解:,原式,说明: 若,则有,三 闭区间上连续函数的性质,在闭区间a,b上连续： 在 (a,b) 内连续，在 a点右连续，在 b 点左连续., 闭区间上连续函数的定义,、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论：,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,3、介值定理,定义:,.,几何解释:,例1,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,证,由零点定理,例2,例4,证,由零点定理知,总之,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,3.初等函数连续性,4.四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,
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