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1-04 极限运算法则,一.无穷小与无穷大 二.极限的运算法则,一.无穷小量无穷大量,定义1: 极限为零的变量称为无穷小量.,例如,又如,（1）无穷小是变量,不是有穷小量，不能与很 小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。,注意,2.无穷小与函数极限的关系:,意义：,将一般极限问题转化为特殊极限 无穷小 的问题。,3.无穷小的运算性质:,定理. 在同一自变量的变化过程中,有限个无 穷小的代数和仍是无穷小.,证：,注意：无穷多个无穷小的代数和未必是 无穷小 。,推论1. 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。,推论2. 常数与无穷小的乘积是无穷小。,推论3. 有限个无穷小的乘积也是无穷小。,是无穷小，,定理. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,也是无穷小。,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意：,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷小与无穷大的关系,定理：在同一自变量的变化过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论。,证,二.极限运算法则,定理,定理,数列极限的四则运算法则,其证明完全类同于函数极限的四则运算法则.,证,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,求极限方法举例,例1,解,解,例2,解,例3,消去零因子,例4,解,无穷大的倒数为无穷小,例5 在自变量的某个变化过程中,若f (x) 有极限, g(x)无极限,那么 f (x)+g (x)是否有极限?为什么?,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，故假设错误,又问： 在自变量的某个变化过程中, 若 f (x) 和 g (x)都没有极限,那么 f (x) + g (x) 是否也没有极限?试说明之。,答 没有极限.,例6 已知,解 由已知条件知:,例7,意义：,例8,例9 求极限,例10,1、极限的四则运算法则首先说明了由极限存在的函数经四则运算形成之函数其极限存在极限存在判别法则;,2、极限求法;,a. 消去零因子法求极限; b. 利用无穷小运算性质求极限; c. 利用无穷小与无穷大的
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