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课时达标第6讲 函数的奇偶性与周期性解密考纲本考点考查函数的奇偶性、周期性,单独命题多以选择题的形式呈现,排在中间靠前的位置,题目难度系数属于中等或中等偏上;另外,函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题,有一定难度一、选择题1下列函数是奇函数的是(A)Af(x)x|x|Bf(x)lg xCf(x)2x2xDf(x)x31解析对于B项,f(x)lg x的定义域是x0,所以不是奇函数,所以B项错;对于C项,f(x)2x2xf(x),f(x)是偶函数,所以C项错;对于D项,f(x)x31定义域为R,但图象不过原点,所以f(x)是非奇非偶函数,所以D项错只有A项满足定义域关于原点对称,并且f(x)f(x),是奇函数2已知f(x)3ax2bx5ab是偶函数,且其定义域为6a1,a,则ab(A)AB1C1D7解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a1a0,所以a.又因为f(x)为偶函数,所以3a(x)2bx5ab3ax2bx5ab,得b0,所以ab.故选A3已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x4)f(x),当x(0,2)时,f(x)2x2,则f(2 019)(A)A2B2C98D98解析因为f(x4)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)为奇函数,所以f(1)f(1)2122,即f(2 019)2.4已知函数yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)lg x,则f(D)ABClg 2Dlg 2解析因为当x0时,f(x)lg x,所以flg2,则ff(2),因为函数yf(x)是奇函数,所以ff(2)lg 2.5已知偶函数yf(x)满足f(x5)f(x5),且0x5时,f(x)x24x,则f(2 018)(B)A3B4C4D12解析f(x5)f(x5),f(x10)f(x),f(x)为周期函数,且周期为10,f(2 018)f(202102)f(2)f(2)22424.故选B6已知f(x)是偶函数,且f(x)在0,)上是增函数,如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立,则实数a的取值范围是(D)A2,1B5,0C5,1D2,0解析因为f(x)是偶函数,在0,)上是增函数,如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立,则ax1|x2|,即x2ax12x.由ax12x,得ax1x,a1,而1在x1时取得最小值0,故a0.同理,x2ax1时,a2,所以a的取值范围是2,0二、填空题7(2018河南豫西南部分示范性高中期中)已知奇函数f(x)则实数a_4_.解析因为函数f(x)为奇函数,则f(x)f(x),则f(1)f(1),所以421(21a),解得a4.8设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1m)f(m),则实数m的取值范围是_.解析因为f(x)是偶函数,所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m),等价于f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时,f(x)是减函数所以解得1m.9(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x4)f(x2)若当x3,0时,f(x)6x,则f(919)_6_.解析f(x4)f(x2),f(x)的周期为6,91915361,f(919)f(1)又f(x)为偶函数,f(919)f(1)f(1)6.三、解答题10若f(x),g(x)是定义在R上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)g(x),求f(x)的表达式解析在f(x)g(x)中用x代替x,得f(x)g(x).又f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(x)g(x),联立方程两式相减得f(x).11已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x).(1)求f(1)和f(1)的值;(2)求f(x)在1,1上的解析式解析(1)f(x)是周期为2的奇函数,f(1)f(12)f(1)f(1),f(1)0,f(1)0.(2)由题意知,f(0)0.当x(1,0)时,x(0,1)由f(x)是奇函数,得f(x)f(x).综上,在1,1上,f(x)12函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x1)2,且f(x)在(0,)上是增函数,求x的取值范围解析(1)因为对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2),所以令x1x21,得f(1)2f(1),所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数,证明如下:f(x)定义域关于原点对称,令x1x21,有f(1)f(1)f(1),所以f(1)f(1)0.令x11,x2x有f(x)f(1)f(x),所以f(x)f(x),所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f
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