2019版高考数学大复习函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性优选学案.docx

第14讲导数与函数的单调性考纲要求考情分析命题趋势了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2017全国卷，92017江苏卷，112017浙江卷，72016全国卷，21导数与函数的单调性是高考中的热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大.分值：58分函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，且导函数f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0.(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_单调递增_.(2)若f(x)0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间内没有单调性()解析(1)错误可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，故f(x)0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)正确如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)0，函数f(x)不存在单调性2函数yx2ln x的单调递减区间为(B)A(1,1B(0,1C1，)D(0，)解析函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00)的单调递减区间是(0,4)，则m_.解析f(x)3mx26(m1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由f(x)3mx26(m1)x0，得0x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)令f(x)0，得x24x50(x0)，解得x5；由f(x)0，得x24x50)，解得0x0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围【例3】 已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(1，)上为增函数，求a的取值范围；(3)若f(x)在(1,1)上为减函数，求a的取值范围；(4)若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值；(5)若f(x)在(1,1)上不单调，求a的取值范围解析(1)f(x)在R上为增函数，f(x)3x2a0在R上恒成立a3x2对xR恒成立3x20，只需a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上为增函数，a的取值范围是(，0(2)f(x)3x2a，且f(x)在(1，)上为增函数，f(x)0在(1，)上恒成立，3x2a0在(1，)上恒成立，a3x2在(1，)上恒成立，a3，即a的取值范围是(，3(3)f(x)3x2a，且f(x)在(1,1)上为减函数，f(x)03x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在(1,1)上恒成立x(1,1)，3x20时，由f(x)0，得3x2a0，所以x2，即x0时，f(x)在(1,1)上不单调，f(x)0在(1,1)内有解x，01，解得0a2，则f(x)2x4的解集为(B)A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)(2)已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)bcBcbaCcabDacb解析(1)令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2.f(x)2，f(x)20，即g(x)0，g(x)f(x)2x4在R上单调递增又f(1)2，g(1)f(1)20，g(x)0g(x)g(1)x1，f(x)2x4的解集是(1，)故选B(2)函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，yf(x)的图象关于点(0,0)对称，yf(x)为奇函数令g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)为偶函数，且g(x)f(x)xf(x)0在(，0)上恒成立，g(x)xf(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数cf(2)f(2)2f(2)，0log330.32，g(log3)g(30.3)ab.故选C1函数f(x)的定义域为R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是(A)Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0x1，g(x)exf(x)f(x)10，g(x)在R上是增函数又g(0)e0f(0)e010，exf(x)ex1exf(x)ex10g(x)0g(x)g(0)x0.故选A2求下列函数的单调区间(1)f(x)3x22ln x；(2)f(x)x2ex.解析(1)函数的定义域为D(0，)f(x)6x，令f(x)0，得x1，x2(舍去)，用x1分割定义域D，得下表.xf(x)0f(x)单调递减单调递增函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)函数的定义域为D(，)f(x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f(x)0，得x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表.x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减单调递增单调递减f(x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0,2)3设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f(x)x3ax29x1，f(x)3x22ax9329，即x时，f(x)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，912，即a29，解得a3，由题设知a0，故f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数综上，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3)4已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解析(1)f(x)，f(1)1a，解得a2.又g(1)abf(1)0，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数，(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x在1，)上恒成立x2，)，2m22，得m2.实数m的取值范围是(，2错因分析：不清楚可导函数f(x)在某区间上f(x)0(f(x)0)只是f(x)在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件，从而造成漏解或错解【例1】 yx3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则实数b的取值范围为_.解析 yx22bxb20恒成立(显然y不恒为零)，4b24(b2)0，整理得(b2)(b1)0，1b2.答案1,2【跟踪训练1】 (2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是(C)A1,1BCD解析f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，由f(x)在R上单调递增，得f(x)0在R上恒成立，令cos xt，t1,1，则t2at0在1,1上恒成立，即4t23at50在1,1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a.故选C课时达标第14讲解密考纲本考点主要考查利用导数研究函数的单调性高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为(A)A(0,1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)解析函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)2(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(D)解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B项；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上，f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C项故选D3已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2x)f(x)，且当x1时，其导函数f(x)满足xf(x)f(x)，若1a2，则有(C)Af(2a)f(2)f(log2a)Bf(2)f(log2a)f(2a)Cf(log2a)f(2)f(2a)Df(log2a)f(2a)f(x)，即(x1)f(x)0，故当x(1，)时，函数单调递增，x(，1)时，函数单调递减1a2，0log2a2，f(log2a)f(2)0的解集为(D)A(，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)解析由题图可知，若f(x)0，则x(，1)(1，)，若f(x)0等价于或解得x(，1)(1,1)(3，)6若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(C)A1，)B1,2)CD解析f(x)4x，x0，由f(x)0，得x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x.由题意得1k.二、填空题7函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_1,11_.解析由f(x)x315x233x6，得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x11，所以函数f(x)的单调减区间为1,118f(x)xn23n(nZ)是偶函数，且yf(x)在(0，)上是减函数，则n_1或2_.解析f(x)xn23n(nZ)是偶函数，n23n2k(kZ)，即f(x)x2k，f(x)2kx2k1.f(x)是偶函数且在(0，)上是减函数，在(0，)上f(x)2kx2k10，2k0，即n23n0，解得0n0，函数f(x)x2bln x在(1，)上是减函数，即x2b0在x(1，)上恒成立，得bx2在x(1，)上恒成立，令g(x)x2，x(1，)，则g(x)g(1)1，所以b1，则b的最大值为1.三、解答题10已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0xh(1)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0，讨论f(x)的单调性解析由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f