函数的奇偶性与周期性.ppt

按Esc键退出,返回目录,2.3 函数的奇偶性与周期性,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,知识梳理,1.函数的奇偶性,答案:f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点,按Esc键退出,返回目录,2.周期性,(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的任何值时,都有f(x+T)= ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期.,(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正 数,那么这个 正数就叫做f(x)的最小正周期.,答案:(1)f(x) (2)存在一个最小 最小,按Esc键退出,返回目录,C.坐标原点对称 D.直线y=x对称,2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( ).,A.先减后增 B.先增后减,C.单调递减 D.单调递增,基础自测,1.函数f(x)= -x的图象关于( ).,A.y轴对称 B.直线y=-x对称,答案：D,答案：C,按Esc键退出,返回目录,3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( ).,A.-1 B.1 C.-2 D.2,4.偶函数f(x)是以4为周期的函数,f(x)在区间-6,-4上是减函数,则f(x) 在0,2上的单调性是 .,答案: 单调递增,答案：A,按Esc键退出,返回目录,思维拓展,1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什 么条件?,提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.,2.若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?奇函数呢?,提示:不一定,如f(x)=x2+1是偶函数,而f(0)=1;若奇函数f(x)在x=0处有定 义,则一定有f(0)=0.,按Esc键退出,返回目录,n0时,nT是f(x)的一个周期.,4.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个?,提示:存在,即f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的 函数有无穷多个.,3.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗?,提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当nZ且,按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出按Esc键退出,返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录,一、函数奇偶性的判定,【例1】 判断下列函数的奇偶性.,(1)f(x)=+;,(3)f(x)=.,(2)f(x)=(x+1);,按Esc键退出,返回目录,解:(1)由,得x=- 或x= .,函数f(x)的定义域为- , .,(2)要使f(x)有意义,则 0,解得-1x1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,对任意的x- , ,-x- , ,且f(-x)=-f(x)=f(x)=0,f(x)既是奇函数,又是偶函数.,按Esc键退出,返回目录,(3),-2x2且x0.,又f(-x)= =- ,f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,函数f(x)的定义域关于原点对称,f(x)= = .,按Esc键退出,返回目录,1.定义法,方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路:,按Esc键退出,返回目录,2.图象法,按Esc键退出,返回目录,3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇奇” 是偶;,(2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶偶”是偶;,(3)“奇偶”是奇,“奇偶”是奇.,提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应 分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式,判断f(x)与f(-x),的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.,(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.,(3)性质法在小题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程.,请做针对训练1,按Esc键退出,返回目录,二、抽象函数的奇偶性,【例2】 函数f(x)的定义域D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2).,(1)求f(1)的值;,(2)判断f(x)的奇偶性并证明.,按Esc键退出,返回目录,解:(1)令x1=x2=1,有f(11)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.,(2)f(x)为偶函数,证明如下:,定义域D=x|x0关于原点对称.,令x1=x2=-1,有f(-1)(-1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0.,令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.,按Esc键退出,返回目录,1.利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(-x),f(x);,2.巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;,3.找出f(-x)与f(x)的关系,得出结论.,提醒:抽象函数奇偶性的判断,关键是要充分理解题意,灵活选取变量 的值.,请做针对训练2,方法提炼抽象函数奇偶性的判断方法:,按Esc键退出,返回目录,A.x|x0 B.x|x4,C.x|x6 D.x|x2,三、函数奇偶性的应用,【例3-1】 设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x0),则x|f(x-2)0=( ).,答案: B,按Esc键退出,返回目录,f(x)=,f(x-2)=,由f(x-2)0得: 或,解得x4或x0,故选B.,解析:当x0,f(-x)=(-x)3-8=-x3-8,又f(x)是偶函数,f(x)=f(-x)=-x3-8.,按Esc键退出,返回目录,【例3-2】 设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为 .,答案:,按Esc键退出,返回目录,由 0,得- x ,又f(x)定义区间为(-b,b),0b ,-2a+b- .,解析:f(x)在(-b,b)上是奇函数,f(-x)=lg =-f(x)=-lg =lg , = 对x(-b,b)成立,可得a=-2(a=2舍去).,f(x)=lg ,按Esc键退出,返回目录,【例3-3】 设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数.,(1)求b,c的值;,(2)求g(x)的单调区间与极值.,解:(1)f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,g(x)=f(x)-f(x),=x3+(b-3)x2+(c-2b)x+c,g(x)是一个奇函数,g(0)=0,得c=0,由奇函数定义f(-x)=-f(x)得b=3.,按Esc键退出,返回目录,(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-,- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间;(- , ) 是函数g(x)的单调递减区间.,g(x)在x=- 时,取得极大值,极大值为4 ;,g(x)在x= 时,取得极小值,极小值为-4 .,按Esc键退出,返回目录,1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产 生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.,2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定 系数法:利用f(x)f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得 知字母的值.,3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的 单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.,请做针对训练3,方法提炼函数奇偶性的应用:,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,四、函数的周期性及其应用,【例4】 已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1, 则f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)= .,解析:由已知得f(0)=0,f(1)=-1,又f(x)关于x=1对称,f(x)=f(2-x)且T=4,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1,f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1,f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1.,f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.,答案:0,按Esc键退出,返回目录,方法提炼关于函数周期性常用的结论:,(1)定义在R上的函数f(x),若有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函 数且2|a-b|是它的一个周期;若有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周 期函数且2|a-b|是它的一个周期;若有一个对称中心(a,0)和一条对 称轴x=b,则f(x)是周期函数且4|a-b|是它的一个周期.,按Esc键退出,返回目录,(x+a)= 或f(x+a)=- (a是常数且a0),则