2019版高考数学大复习函数导数及其应用第13讲变化率与导数导数的计算优选学案.docx

第13讲变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.2017全国卷，142017天津卷，102016全国卷，162016天津卷，102016山东卷，101.导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质2导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题.分值：5分1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为_，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为_.2函数yf(x)在xx0处的导数及几何意义(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_ _ _为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _ _.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_(x0，f(x0)_处的_切线的斜率_.相应地，切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)_.3函数f(x)的导函数称函数f(x)_ _为f(x)的导函数，导函数也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_0_f(x)xn(nQ*)f(x)_nxn1_f(x)sin xf(x)_cos_x_f(x)cos xf(x)_sin_x_f(x)ax(a0)f(x)_axln_a_f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_f(x)g(x)_.(2)f(x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_.(3)_(g(x)0)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)若f(x)f(a)x2ln x(a0)，则f(x)2xf(a).()解析(1)错误应先求f(x)，再求f(x0)(2)正确如y1是曲线ysin x的切线，但其交点个数有无数个(3)错误如y0与抛物线y2x只有一个公共点，但是y0不是抛物线y2x的切线(4)正确f(x)f(a)x2ln xf(a)x2(ln x)2xf(a).2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为(A)A2B2CD解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2.3某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的速度v(t)对t的变化率(即加速度)是(A)A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2D4 m/s2解析由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)1221014(m/s2)4曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_2xy10_.解析y3x21，y|x131212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.5函数yxcos xsin x的导数为_yxsin_x_.解析y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.一导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导【例1】 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.(2)已知函数f(x)fsin xcos x，则f_1_.解析(1)f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)，f(2)43f(2)3f(2)，f(2).(2)f(x)fsin xcos x，f(x)fcos xsin x，ff，f(2)，f(x)(2)sin xcos x，f(2)1.【例2】 求下列函数的导数(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2xe.解析(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.二导数的几何意义若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)，由此即可得过点P(x0，y0)的切线方程【例3】 (1)(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_yx1_.(2)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_(1,1)_.(3)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)的导数y，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2.依题意k1k21，所以m1，从而n1，则点P的坐标为(1,1)(3)f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.又g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0时，x2，当且仅当x1时等号成立，a2.故实数a的取值范围是2，)4已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲线C在横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由解析(1)y12x36x218x，ky|x11261812.又由x1，得y32944，切点的坐标为(1，4)所求切线的方程为y412(x1)，即12xy80.(2)由得3x42x39x212x40，整理，得(x1)2(x2)(3x2)0，x1或2或.切线与曲线C还有其他公共点，由x2，得y32；由x，得y0.另外两个点的坐标为(2,32)，.错因分析：审题时忽视了曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同【例1】 求曲线S：yf(x)2xx3过点A(1,1)的切线方程解析 设切点为(x0，f(x0)f(x)23x2，切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)，即y(23x)(xx0)2x0x，将点A的坐标(1,1)代入得1(23x)(1x0)2x0x，整理得2x3x10，即2x2xx10，(x01)2(2x01)0，解得x01或，y01，f(x0)1或y0，f(x0).切线方程为yx2或yx.【跟踪训练1】 已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解析(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.课时达标第13讲解密考纲本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问一、选择题1若f(x)2xf(1)x2，则f(0)(D)A2B0C2D4解析f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2在等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)为函数f(x)的导函数，则f(0)(D)A0B26C29D212解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)x(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)，f(0)(a1)(a2)(a8)0a1a2a8(a1a8)4(24)4(23)4212.3已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)f(x)，则tan 2x的值是(D)ABCD解析因为f(x)cos xsin xsin xcos x，所以tan x3，所以tan 2x.故选D4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(B)ABCD解析y，y1，1tan 0.又0，0，a1，f(1).二、填空题7曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_5xy20_.解析由y5ex3，得y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.8曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_.解析y，k，切线方程为y(x1)，三角形面积为S1.9已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点坐标为_.解析 y，解得x3.故切点坐标为.三、解答题10已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解析(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过原点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)11已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解析(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)12(2018吉林校级联考)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)设g(