2019版高考数学复习第十三章立体几何13.4空间几何体的表面积与体积讲义.docx

13.4空间几何体的表面积与体积考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.表面积简单几何体表面积求解A填空题2.体积1.简单几何体体积求解2.简单等积变换A8题5分8题5分填空题解答题分析解读江苏高考对体积问题几乎是每年必考,主要考查简单几何体的体积求解,偶尔考查简单的体积变换,试题难度中等.五年高考考点一表面积1.(2017课标全国文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案142.(2017课标全国文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案363.(2016课标全国改编,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.答案124.(2015课标改编,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为.答案1445.(2014大纲全国改编,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为.答案6.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案127.(2013课标全国,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24考点二体积1.(2016课标全国,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是.答案9蟺22.(2015山东改编,7,5分)在梯形ABCD中,ABC=蟺2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.答案5蟺33.(2015课标改编,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有斛.答案224.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是.答案325.(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为.答案4蟺36.(2013课标全国理改编,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为.答案 cm37.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案124教师用书专用(89)8.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析(1)证明:AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)解法一:由AB平面BCD,得ABBD.AB=BD=1,SABD=12.M是AD的中点,SABM=12SABD=14.由(1)知,CD平面ABD,三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=13SABMh=112.解法二:如图,过点M作MNBD交BD于点N,由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,所以MN平面BCD,且MN=12AB=12,又CDBD,BD=CD=1,SBCD=12.三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13ABSBCD-13MNSBCD=112.9.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,PA=23,BC=CD=2,ACB=ACD=蟺3.(1)求证:BD平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解析(1)证明:因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为PA底面ABCD,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积SBCD=12BCCDsinBCD=1222sin2蟺3=3.由PA底面ABCD,得VP-BCD=13SBCDPA=13323=2.由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为18PA,故VF-BCD=13SBCD18PA=1331823=14,所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-14=74.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一表面积1.(苏教必2,一,3,变式)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是.答案22.(2017江苏南京高淳质检,8)若正四棱锥的底面边长为22,体积为8,则其侧面积为.答案4223.(苏教必2,一,3,变式)如图,斜三棱柱ABC-ABC中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角,求此斜三棱柱的表面积.解析如图,过A作AD平面ABC于D,过D作DEAB于E,DFAC于F,连结AE,AF,AD.AEAB,AFAC,AAE=AAF,AA=AA,RtAAERtAAF,AE=AF,DE=DF,AD平分BAC,又AB=AC,BCAD,BCAD,ADAD=D,BC平面AAD,BCAA,而AABB,BCBB,四边形BCCB是矩形,斜三棱柱的侧面积为2absin 45+ab=(2+1)ab.又斜三棱柱底面三角形的面积为34a2,斜三棱柱的表面积为(2+1)ab+32a2.考点二体积4.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA1=4,若E,F分别是棱BB1和CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是.答案4335.(2018江苏天一中学高三调研考试)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为.答案6.(2017江苏泰州中学模拟,6)在ABC中,AB=2,BC=1.5,ABC=120,若使ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是.答案3蟺27.(2017江苏南京学情调研,10)已知圆柱M的底面半径为2,高为6;圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同,则圆锥N的高为.答案68.(苏教必2,一,3,变式)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为.答案212a39.(2016江苏南通一模,8)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱B1B的中点,则三棱锥B1-ADE的体积为.答案112B组20162018年模拟提升题组(满分:10分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共10分)1.(2017江苏南京,盐城一模,10)将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为A,EFG为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥A-EFG体积的最大值是.答案42.(2017江苏常州奔牛中学高三调研,9)三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,AC=BC=1,PA=3,则该三棱锥外接球的表面积为.答案5C组20162018年模拟方法题组方法1空间几何体的表面积1.已知某圆锥的底面半径r=3,沿圆锥的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23的扇形,则该圆锥的表面积是.答案36方法2空间几何体的体积2.(2017南京高三三模,10)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,ABC=90,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为.答案13方法3解答空间几何体中最值问题的方法3.如图,ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC,AB=2,EB=3.(1)求证:DE平面ACD;(2)设AC=x,V(x)表示三棱锥B-ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值.解析(1)证明:四边形DCBE为平行四边形,BCDE.DC平面ABC,BC平面ABC,DCBC.AB是圆O的直径,ABC内接于圆O,BCAC,DCAC=C,BC平面ACD.DEBC,DE平面ACD.(2)四边形DCBE为平行四边形,BECD.DC平面ABC,BE平面ABC.在RtABC中,AC=x,AB=2,BC=4-x2(0x2),SABC=12ACBC=12x4-x2,V(x)=VE-ABC=x4-x2(0x2).x2(4-x2)x2+4-x222=4,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,取等号,当x=2时,V(x)取得最大值,最大值为33.4.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD=2,E为CD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中点O在线段DE上.(1)求证:CO平面ABED;(2)设CEO=,为何值时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?解析(1)证明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,故AB=DE,又ABDE,所以四边形ABED是平行四边形,所以ADBE,又因为ABCD,ADAB,所以BECD.在四棱锥C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,所以BE平面CDE.因为CO平面CDE,所以BECO.又CODE,且BEDE=E,