2019版高考数学大复习函数导数及其应用第4讲函数及其表示优选学案.docx

第4讲函数及其表示考纲要求考情分析命题趋势1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用.2017全国卷，32017山东卷，92016全国卷，102016江苏卷，52015全国卷，101.对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题2考查函数的值域及最值3函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题4函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强.分值：5分1函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_唯一确定_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_定义域_，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_值域_.2函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_解析法_.(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_图象法_.(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_列表法_.3函数的三要素(1)函数的三要素：_定义域_、对应关系、值域(2)两个函数相等：如果两个函数的_定义域_相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等4分段函数若函数在定义域的不同子集上的_对应关系_不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数5映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有_唯一确定_的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射6复合函数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)，其中yf(u)叫做复合函数yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做yf(g(x)的内层函数1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数是从其定义域到值域的映射()(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一函数()(4)f(x)是一个函数()(5)AR，BR，对应关系f：xy，y，其对应是从A到B的映射()解析(1)正确函数是特殊的映射(2)错误如函数yx与yx1的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，不是相等函数(3)正确函数f(x)x2x与g(t)t2t的定义域和对应关系相同(4)错误因为定义域为空集. (5)错误当x1时，y值不存在，所以对应不是从A到B的映射2已知数集A1,2,3,4，设f：xy，g：xy都是由A到A的映射，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2)相同的是(B)表1映射f的对应关系x1234y3421表2映射g的对应关系x1234y4312Ag(f(1)Bg(f(2)Cg(f(3)Dg(f(4)解析f(g(2)f(3)2，g(f(2)g(4)2.故选B3(2018齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是(D)Af(x)eln x，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)解析A，B，C项的解析式相同，但定义域不同，只有D项正确4已知函数f(x)，若f(a)3，则实数a_10_.解析因为f(a)3，所以a19，即a10.5设f(x)若f(2)4，则a的取值范围为_(，2_.解析因为f(2)4，所以2a，)，所以a2，则a的取值范围为(，2一求函数定义域(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了一般来说，在高中范围内涉及的有：开偶次方时被开方数为非负数；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零；指数、对数的底数大于零且不等于1；实际问题还需要考虑使题目本身有意义；若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：已知yf(x)的定义域是A，求yf(g(x)的定义域，可由g(x)A求出x的范围，即为yf(g(x)的定义域；已知yf(g(x)的定义域是A，求yf(x)的定义域，可由xA求出g(x)的范围，即为yf(x)的定义域【例1】 (1)函数f(x)lg(3x1)的定义域是(B)ABCD(2)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域为_0,1)_.解析(1)要使函数有意义，需满足解得x1.(2)由得0x1，即定义域是0,1)二求函数解析式函数解析式的常见求法(1)配凑法已知f(h(x)g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换(2)待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可(3)换元法已知f(h(x)g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范围(4)方程组法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【例2】 (1)已知f，则f(x)(C)A(x1)2B(x1)2Cx2x1Dx2x1(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)2，f(x1)f(x)x3，则f(x)_x2x2_.(3)若函数f(x)满足方程af(x)fax，xR，且x0，a为常数，a1，且a0，则f(x)_.解析(1)f21.令t，得f(t)t2t1，即f(x)x2x1.(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)c2，得f(x)ax2bx2，则f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx3，所以2a1，且ab3，解得a，b，故f(x)x2x2.(3)因为af(x)fax，所以aff(x)，两方程联立解得f(x).三分段函数分段函数两种题型的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论【例3】 (1)(2017山东卷)设f(x)若f(a)f(a1)，则f(C)A2B4C6D8(2)设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_(，_.解析(1)当0a1，f(a)，f(a1)2(a11)2a.f(a)f(a1)，2a，解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解当a1时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意综上，f6.故选C(2)由题意得或解得f(a)2.由或解得a.1函数f(x)的定义域为(A)A(1,0)(0,2)B(1,0)(0，)C(，1)(2，)D(1,2)解析x(1,0)(0,2)故选A2(2018内蒙古巴彦卓尔一中期中)已知函数f(x)则f(D)A4BC4D解析flog32，f(2)22，所以f.故选D3(2018重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)满足f(x1)x22x3，则f(x)的解析式是 (B)Af(x)x22Bf(x)x22Cf(x)x22xDf(x)x22x解析f(x1)x22x3(x1)22，f(x)x22.故选B4若f(x)则f(x)的最小值是_1_.解析当x0时，f(x)x，此时f(x)min0；当x0时，f(x)x22x(x1)21，此时f(x)min1.综上，当xR时，f(x)min1.错因分析：对定义域和值域的概念没有理解透彻，因而解决问题时易出错【例1】 已知函数f(x)log2的定义域为R，求实数a的取值范围解析f(x)的定义域为R，即对一切实数x，tax2(a1)x的值恒大于0.a0时，tx的值不恒大于0；a0时，必有即解得a.综上，实数a的取值范围为.【跟踪训练1】 已知函数f(x)log2的值域为R，求实数a的取值范围解析f(x)的值域为R，即tax2(a1)x能取得所有大于0的实数a0时，tx能取得所有大于0的实数，满足题意；a0时，必有即解得a或0a.综上，实数a的取值范围为.课时达标第4讲解密考纲本考点考查函数的概念、函数的三要素以及分段函数求值等一般以选择题、填空题的形式呈现，排在考卷比较靠前的位置，题目难度不大一、选择题1(2018云南玉溪一中期中)下列对应是从集合A到集合B的函数的是(C)AAN，BR，对应关系f: “求平方根”BAN*，BN*，对应关系f：xy|x3|CAR，B0,1，对应关系f：xyDAZ，BQ，对应关系f：xy 解析若AN，BR，对应关系f：“求平方根”，取A中元素1，利用对应关系得出对应值为1，不是函数关系；若AN*，BN*，对应关系f：xy|x3|，取A中元素3，利用对应关系得出对应值为0，且0B，不是函数关系；若AZ，BQ，对应关系f：xy，取A中元素1，对应元素不存在，不是函数关系；若AR，B0,1，对应关系f：xy在R上任取一个值，按照对应关系都有B中唯一确定的值与之对应，符合函数定义要求，是函数关系故选C2已知f(x)则ff的值为(D)ABC1D1解析ffcos1cos11.3函数yln(x2x)的定义域为(B)A(，0)(1，)B(，0)(1,2C(，0)D(，2)解析由已知得x(，0)(1,2故选B4已知函数f(x)设alog，则f(f(a)(A)AB2C3D2解析1alog3，则a的取值范围是_(9，)_.解析由已知得或解得a9.9(2018四川成都外国语学校期中)若函数f(x1)的定义域是2,3，则y的定义域是_(1,2)_.解析yf(x1)的定义域是2,3，1x14，f(x)的定义域是1,4，令12x14，解得0x，又因为所以1x2或2x，所以答案为(1,2).三、解答题10设函数f(x)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象解析(1)由f(2)3，f(1)f(1)，得解得a1，b1，所以f(x)(2)f(x)的图象如图所示11已知f(x)2x，g(x)是一次函数，并且点(2,2)在函数f(g(x)的图象上，点(2,5)在函数g(f(x)的图象上，求g(x)的解析式解析设g(x)axb，a0，则f(g(x)2axb，g(f(x)a2xb，根据已知条件得解得所以g(x)2x3.12(2018重庆高三月考)已知函数f(x)x2mxn(m，nR)，f(0)f(1)，且方程xf(x)有两个相等的