概率的计算(第二十章.ppt

静,第八讲 概率的计算（第二十章）,1、 用古典概率、几何概率计算概率,2、 用基本性质计算概率,3、 利用条件概率、乘法公式计算概率,4、 利用事件的独立性计算概率,5、 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率,6、 利用二项概率公式计算概率,1、用古典概率计算概率,一、 用古典概率、几何概率计算概率,古典概型具有两个特性：,(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数有限，且两两互不相容；,1, 2, . n,(有限性),(2)每个基本事件发生的可能性相等；,(等可能性),这时若事件A含有k个基本事件，则,为此，经常用到如下排列组合知识：,(1) n个不同元素全部取来进行排列，全部 排列的种数为：Pnn!,(2) n个不同元素,每次从中任取r个不同元素来进行排列，所有 不同排列的种数为：,(3) n个不同元素,每次从中任取何r个不同元素来进行组合，所 有不同组合的种数为：,(4) n个不同元素,每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列， 所有不同排列的种数为：,例1. 设有一批产品共100件，其中5件次品， 现从中任取3件，求 (1)全是正品的概率； (2)恰有2件次品的概率.,解：(1)设A=任取3件全是正品,(2)设B=任取3件恰有2件次品,例2. 一个盒中装有编号为1，2，,10的球各 一个，外形完全一样。随机从盒中摸球，每摸 一个球，记下编号后放入盒中，共摸六次，求 所记下的编号中最大号码恰为6的概率.,解1：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为6,解2：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为6,2、用几何概率计算概率,几何概型具有两个特性：,(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数无限， 且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表 示；,(无限性),(2) 每个基本事件发生的可能性相等；,(等可能性),这时若事件A所对应的区域为g，则,例3. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。甲船的停泊时间是2小时，乙船的停泊时间是3小时，两船启航后都不再返回该码头，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。,解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y,则由题意,即样本空间为以24为边长的正方形,设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出，则,即图中阴影部分。,于是，所求概率为：,y=x+2,y=x-3,概率的基本性质,二、 用基本性质计算概率,性质1. (有限可加性)设有限个事件A1, A2,., An 满足AiAj=(ij, i, j=1, 2, n), 则,性质2. 对任一事件A有,性质3.（加法公式）设A、B为任意两个事件，则,P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),设A、B、C 为任意三个事件，则,P(ABC)= P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),性质4.设A、B为任意两个事件，且AB，则,P(B-A)= P(B)P(A),例4. 设P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=；（2）AB；（3） P(AB)=1/8，求,解： （1）因为AB=，所以,例5. 设 A、B、C 为随机事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A、B、C 全不发生的概率为多少？,解：“事件A、B、C 全不发生”记为,（2）因为AB，所以,三、利用条件概率、乘法公式计算概率,1、条件概率,条件概率与积事件概率的区别：一般地说，当事件A、B同时发生,时，常用P(AB)；而在有包含关系或明确的主从关系中，用P(B|A)。,2、乘法公式,或,例6. 一盒中有10只晶体管，其中7只正品，3只次品，分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试，求抽取的两件中都是正品的概率.,解：记A =第一次抽得正品, B =第二次抽得正品,(1)不放回抽取：,故,(2)有放回抽取：,故,例7. 设 A、B 为随机事件,已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，,解:(1)方法1,因为P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),且,所以,方法2 因为,所以,且,所以,四、利用事件的独立性计算概率,1、定义,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称A, B, C两两独立；,进一步若还有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，,则称A, B, C相互独立.,若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A, B相互独立,若事件A，B，C满足,2、性质,也相互独立.,若A与B相互独立，则P(B|A)= P(B)，P(A|B)= P(A),若A与B相互独立，则,例8.甲、乙两高射炮同向一架敌机射击，已知甲炮命中率为0.6，乙炮命中率为0.5，求敌机被击中的概率.,解1：记A=甲炮击中敌机，B=乙炮击中敌机,C=敌机被击中 则C=AB,由加法公式P(C)= P(A)+P(B)P(AB),又因为A与B独立，所以P(AB)= P(A)P(B),P(C)= P(A)+P(B)P(A)P(B)= 0.6+0.50.60.5= 0.8,于是,解2.,=0.60.5 +0.60.5+0.40.5 =0.8,解3. 先求,四、利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率,1、全概率公式,设必然事件分解成若干个互斥事件的和,则对任一事件B，有,P(B)=P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2) + + P(An) P(B|An),2、贝叶斯公式,设事件B 和一组事件A1 ，A2 ， ，An满足全概率公式中 的条件,则有以下贝叶斯公式：,例9.某厂有四台机器生产同一产品，产量各占50，30，10，10，各台机器生产的次品率分别为2，4，1，2.求：(1)从全厂的产品中任取一件，恰为次品的概率.(2)从全厂的产品中任取一件，发现是次品，问此次品出自哪一台机器?,解：分别以A1，A2，A3，A4表示取得的产品为第一台，第二台，第三台，第四台机器生产的.B表示取得的产品恰为次品.,显然 A1A2A3A4=, 且Ai互斥.,(1) 要求P(B).,由全概率公式，有,P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4),由题意有,P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1,P(A4)=0.1,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.01,P(B|A4)=0.02,所以，有,P(B)=0.50.02+0.30.04+0.10.01+0.10.02 =0.025,注意：P(B)不是各台机器的次品率相加.,(2)要求B发生的条件下，出自哪一台机器的可能性大. 为此要计算的是下面四个条件概率,P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B),由贝叶斯公式：,类似地可计算出,从计算的结果看出，可能性最大的不是A1，而是A2，自然要倾向于认为是第二台机器生产的。,例10. 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新 的，第一次使用时，从中任取3个，用后仍 放回盒中，第二次使用时，再从盒中任取 3个，求第二次取出的球都是新球的概率。,解：以Ai (i=0,1,2,3)表示第一次使用了i个新球，B 表示第二次取出的3个球都是新球.,显然 A0A1A2A3=, 且Ai互斥.,由全概率公式，有,由题意有,四、利用二项概率公式计算概率,1、贝努里概型,具有下列特点的试验：,(1)每次试验条件都相同，,(3)每次试验的结果是相互独立，,称为n重贝努里试验概型.,2、二项概率公式,在n重贝努里试验中，设每次试验中