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3 格林(Green)公式 曲线积分与路径无关的条件,一、区域连通性的分类,二、格林公式,三、简单应用,四、曲线积分与路径无关的定义,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,三、简单应用,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。,格林公式的应用,（格林公式）,从,证明了：,练习1,计算积分,解,练习2,求星形线,所界图形的面积。,解,D,L,1,1,-1,-1,重要意义：,1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系,2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系,4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用,3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式,更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。,四、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有,=,=,=0,所以,=,=,=,于是，在 内,应用格林公式，有,与路径无关.,L,与路径无关,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1 + L2.,解,例7 验证：在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。,这里,且,在整个 xoy 面内恒成立。,即，,因此，在 xoy 面内，,是某个函数,u (x, y) 的全微分。,解,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,五、小结,与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题,条件,等 价 命 题,作业：P231: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7.,若
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