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,2.3 矩阵的转置 对称矩阵,定义2.11,把一个,矩阵,的行列互换得到的一个 矩阵，称之为A 的转置矩阵，记作,.,例,由定义可知,如果记,则,.,注:,由于 维列向量 可看作 矩阵, 所以可以记,维列向量 为:,矩阵的转置性质:,证明:,仅证性质(4), 其余留给同学们自证.,.,设,矩阵, 且,这就证明了,注:,性质(4)可推广多个矩阵相乘的情形, 即,于是,所以,.,例 已知,解法1,解法2,.,方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,.,对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 则称 为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,.,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵.,.,例1,设,是一个 矩阵, 则 和 都是 对称矩阵.,证明,是n 阶矩阵, 且有,所以 是 n 阶对称矩阵.,同理,是m阶对称矩阵.,例2,设A是阶n反对称矩阵,B是 n阶对称矩阵, 则 AB+BA是n 阶反对称矩阵.,证明,.,注意,两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,例,且若A与B均为对称矩阵,则AB对称的充要条件是 AB=BA,.,P56例4,同理可证两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵,两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵,故C上三角形矩阵.,由于A是上三角形矩阵,设,当,时,所以,因此,例 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,4、共轭矩阵,故,同理可得,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:,例6 设列矩阵 满足,证明,解,例4,由此归纳出,所以对
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