相似矩阵及二次型1.ppt

方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 矩阵的对角化 对称矩阵的对角化 二次型的标准形与正定性,第四章 相似矩阵及二次型,本章内容,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,一 特征值与特征向量的概念,第16讲 方阵的特征值与特征向量,是 A的特征值，,定义1 n阶方阵A，若 使得,eigenvalue,eigenvector,注1,是 A 的特征值、特征向量,是 的根,是 的非零解.,注2 在复数域内特征值一定存在，且n阶矩阵有,n个特征值（重根按重数计算）,特征多项式,特征方程,注3 对应于一个特征值的特征向量有无穷多个,则称,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,例1 求下列矩阵的特征值与特征向量,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,二 特征值与矩阵的关系,例2 (08) 矩阵A的特征值为, 2, 3, 未知.,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,(1) 是 的特征值;,三 各种运算下的特征值,的特征向量,则,(2) 是 的特征值;,(3) 是 的特征值;,(4) 是 的特征值(若 A 可逆);,(5) 是 的特征值.,特征向量？,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,例3 设三阶矩阵A 的特征值为1, -1, 2,求,定理3 不同特征值对应的特征向量一定线性无关.,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,第17讲 相似矩阵,一 矩阵的相似,P相似变换矩阵.,定义2 设A、B均为 n 阶方阵, 若存在可逆阵P,使得,则称B是A的相似矩阵, 或称A与B相似,注 矩阵的相似关系满足反身性/对称性/传递性,similar,定理4 若A与B 相似，则A与B有相同的特征多项式,推论 若A与对角阵 相似，则 即是A的特征值.,从而有相同的特征值.,注 若A与对角阵 相似，则,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,推论 若n 阶阵A的n个特征值互不相等, 则A可对角化,二 矩阵可对角化的条件,n阶矩阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量,定理5 (可对角化的条件),例5 设 问x为何值时，矩阵A可对角化？,的基础解系所含向量个数时， A可以对角化,注 若A有重特征值 , 则其重数等于,代数重数=几何重数,A可对角化指的是 (对角阵), 使得A与 相似.,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,第一步,第二步,求A的特征值 (s个互不相等),注 相似变换矩阵P不唯一.,例,把方阵A对角化指的是寻找相似变换矩阵P，,三 矩阵对角化的过程,对于每一特征值 , 求齐次线性方程组,的基础解系,使得,第三步 以,为列构成矩阵P，则,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,第18讲 对称矩阵的对角化,一 正交向量与正交矩阵,1 向量的内积,定义3 设有 n 维向量,称 为向量x与y的内积,即,实际上,inner product,性质,记作,且,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,2 向量的长度,注1 零向量 的长度为零.,为向量 x 的长度(或范数).,length,定义4 设 称,注2 单位向量x:,若 则,为单位向量,且只有零向量,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,3 正交向量与正交向量组,注1 零向量与任意向量正交.,定义5 称向量 x 与 y 正交，若,orthogonal,注2 正交向量组两两正交的非零向量组,定理6 正交向量组一定线性无关.,注 反之不然.,例如, 向量组,注 规范正交基两两正交的单位向量构成的基,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,施密特(Schmidt) 正交化过程：,线性无关向量组,为正交向量组且与 等价,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,4 正交矩阵与正交变换,定义6,(即 ),若方阵 A 满足,则称 A 为正交(矩)阵.,orthogonal matrix,例8 判别下列矩阵是否为正交阵,A 的行(列)向量组为两两正交的单位向量.,注 A 是正交阵,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,注 正交变换保持向量的长度及正交性不变,正交阵的性质：,(3) 若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵,(2) 若A为正交阵，则 也是正交阵,(1) 若A为正交阵，则,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,二 对称矩阵的特征值、特征向量,定理7 对称阵的特征值为实数.,注 n阶对称阵在实数范围内一定有n 个特征值.,定理8 对称阵的不同特征值对应的特征向量正交.,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,三 对称矩阵的对角化,定理9 对于n阶对称阵A , 一定存在正交阵P, 使得,推论 对称阵A的特征值的代数重数=几何重数,的正交单位特征向量.,征值，而P 的n个列向量是A的对应于,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,一 二次型及其矩阵,n阶对称阵,A称为二次型 f 的矩阵，f 称为矩阵A的二次型,第19讲 二次型简介,定义7 n元二次型指的是n个变量的二次齐次函数：,矩阵形式:,或,实二次型,复二次型,A的秩称为二次型的秩.,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,二次型 的矩阵,例如, 二次型 的矩阵,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,二 二次型的化简,使 f 只含 的平方项：,标准形,化二次型 为标准形指的是找,配方法,正交变换法,方法,可逆变换,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,正交变换 使得,其中， 是A的n个特征值，而P 的,n个列向量是A的对应于 的正交,单位特征向量,正交变换法化二次型为标准形,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,如上例，指出 表示何种二次曲面.,注 正交变换法的优点在于能保持几何形状不变,附：二次型的规范形，,正惯性指数,1 June 2019,河北科大理学院,第五章 相似矩阵及二次型,三 二次型的正定性,