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第二章 分离变量法,作业题-习题二,1. 设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初位移如图所示，初速度为零, 又无外力作用,求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。,解：如图所示,设弦作横向振动时初始条件题为,则u(x,t)是下列定解问题的解,0,l,x,u(x,t),h,c,初速度为零,其中系数Cn和Dn由课本第23页(2.12)式得,该定解问题的解由课本第22页(2.11)式得,分别是,在0, l区,间上正弦展开的Fourier级数,的系数，即,求得的系数代入前面的级数解中，即可得到原来定解问题的解：,6.解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为 u(x,t=0)=x, u(x=0,t)x=0, u(x=l,t)x=0.,解：依题意写出定解问题如下:,用分离变量法求解：,得,首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解。,令,(I),代入方程和边界条件得到,即,以及,(1),(2),(3),(II),特征值问题,(3),情形(A),情形(B),时(2)通解:,由(3) 得,其通解为,有非零解 X=A,由(3) 可推,只有零解X=0=u,(2),由此，就得到原方程满足边界条件的变量分离的非零特解:,代入(1)可得,其通解为,情形(C),通解：,由X(0) = 0推,由,使,必须,于是有,这样就找到了一族非零解：特征函数,得一族特征值,注：n=0即l=0的情况。,(III),特解的叠加,由初始条件知,故Cn是x在 0, l上余弦展开的Fourier级数的系数:,再代入前面的级数解中，即得到原定解问题的解。,13.一半径为a的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持u(a,q)=Tq(p-q)，而直径边界上温度保持为零度，板的侧面绝缘，试求稳恒状态下的温度分布情况。,u (r, q=0),u (a, q),u (r, q),u (r, q=p),解 ：原定解问题转化为,下面采用分离变量法来求解。为此，令,代入偏微分方程 ，即得,分离变量,令其比值为为常数,得,这样,我们得到了两个常微分方程：,直径边界条件,自然边界条件,(1),(2),(3),求解特征值问题,(1),(2),于是特征值为,特征函数为,代入(3),得,欧拉方程,特解：,其中n=1,2,。特解叠加：,利用初始条件u(a,q) =Tq(p-q)来确定系数:,其中,则原定解问题解为,9. 求下列定解问题的形式解,A为常数:,解: 边界条件是非齐次的。本问题中,方程的自由项与边界条件均与t 无关，所以令u(x,t)=V(x,t)+W(x),代入方程及边界条件，有,所以取,则原定解问题化为关于V(x,t) 的齐次边界齐次方程的问题,简化了计算难度。通过求解上述常微分方程的边值问题，积分两次可得,则原定解问题
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