（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第六节指数与指数函数教案（含解析）.docx

第六节 指数与指数函数1有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在区间(，)上是增函数在区间(，)上是减函数小题体验1计算(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9解析：选B原式2612317.2函数f(x)3x1的值域为()A(1，) B(1，)C(0,1) D1，)解析：选B3x0，3x11，即函数f(x)3x1的值域为(1，)3若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点A，则f(1)_.答案：4若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)(a2)x为减函数，0a21，即2a3.答案：(2,3)1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.小题纠偏1判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)()na.()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(3)(1)(1).()答案：(1)(2)(3)2若函数y(a1)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案：(1,2)题组练透1化简与求值：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2.解：(1)原式111.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.2若xx3，则的值为_解析：由xx3，得xx129，所以xx17，所以x2x2249，所以x2x247.因为xx(xx)33(xx)27918，所以原式.答案：谨记通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答典例引领1函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()解析：选D函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A项错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1时，1，平移距离大于1，所以C项错误故选D.2已知a0，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是_解析：当0a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图a.若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a.当a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图b，若直线y3a与函数y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解所以a的取值范围是.答案：由题悟法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时应用1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质2已知f(x)|2x1|，当abc时，有f(a)f(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2c D12a2c2解析：选D作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示，因为abc，且有f(a)f(c)f(b)，所以必有a0,0c1，且|2a1|2c1|，所以12a2c1，则2a2c2，且2a2c1.故选D.锁定考向高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质 题点全练角度一：比较指数式的大小1(2018杭州模拟)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCacb Dcab解析：选A，yx在(0，)上是增函数，bc，yx在R上是减函数，ab，abc.故选A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2(2018湖州模拟)已知函数f(x)m9x3x，若存在非零实数x0，使得f(x0)f(x0)成立，则实数m的取值范围是()A. BC(0,2)D2，)解析：选B由题意得到f(x)f(x)，所以m9x3xm9x3x，整理得到：m，又m0，所以实数m的取值范围是0m，故选B.角度三：探究指数型函数的性质3已知函数f(x)bax(其中a，b为常数且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式xxm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)bax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，得a24，又a0且a1，a2，b3，f(x)32x.(2)由(1)知xxm0在(，1上恒成立可转化为mxx在(，1上恒成立令g(x)xx，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是.通法在握应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致提醒在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论演练冲关1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：选C因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61.又c1.50.61，所以bac.2(2019金华模拟)设函数f(x)则满足f(x22)f(x)的x的取值范围是_解析：由题意x0时，f(x)单调递增，故f(x)f(0)0，而x0时，f(x)0，故若f(x22)f(x)，则x22x，且x220，解得x2或x.答案：(，)(2，)3函数f(x)x22x1的单调减区间为_解析：设ux22x1，yu在R上为减函数，函数f(x)x22x1的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1答案：(，1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1化简的结果是()AaBbCab Dab2解析：选A原式aaaaaa.2已知a()，b2，c9，则a，b，c的大小关系是()Abac BabcCbca Dcab解析：选Aa()22，b2，c93，由函数yx在(0，)上为增函数，得ac，由函数y2x在R上为增函数，得ab，综上得cab.3(2018丽水模拟)已知实数a，b满足ab，则()Ab2 Bb2Ca Da解析：选B由a，得a1，由ab，得2ab，得2ab，由b，得b4，得b4.由2ab，得b2a2，a2，1a2,2b4.取a，b，得 ，有a，排除C；b2，排除A；取a，b得， ，有a，排除D，故选B.4(2017宁波期中)若指数函数f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)_；不等式f(x)f(x)的解集为_解析：设指数函数解析式为yax，因为指数函数f(x)的图象过点(2,4)，所以4a2，解得a，所以指数函数解析式为yx，所以f(3)3；不等式f(x)f(x)，即x2x，设2xt，不等式化为t，所以2t25t20解得t2，即2x2，所以1x1，所以不等式的解集为(1,1)答案：(1,1)5若函数f(x)ax1(a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.解析：当a1时，f(x)ax1在0,2上为增函数，则a212，a.又a1，a.当0a1时，f(x)ax1在0,2上为减函数，又f(0)02，0a1不成立综上可知，a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018贵州适应性考试)函数yax21(a0且a1)的图象恒过的点是()A(0,0) B(0，1)C(2,0) D(2，1)解析：选C法一：因为函数yax(a0，a1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到yax21(a0，a1)的图象，所以yax21(a0，a1)的图象恒过点(2,0)，选项C正确法二：令x20，x2，得f(2)a010，所以yax21(a0，a1)的图象恒过点(2,0)，选项C正确2已知函数ykxa的图象如图所示，则函数yaxk的图象可能是()解析：选B由函数ykxa的图象可得k0,0a1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k1，所以1k0.函数yaxk的图象可以看成把yax的图象向右平移k个单位得到的，且函数yaxk是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3若函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C依题意，a应满足解得a.4已知函数f(x)则函数f(x)是()A偶函数，在0，)单调递增B偶函数，在0，)单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减解析：选C易知f(0)0，当x0时，f(x)12x，f(x)2x1，而x0，则f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)2x1，f(x)12x，而x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.5(2018温州月考)若函数f(x)aexex为奇函数，则f(x1)e的解集为()A(，0) B(，2)C(2，) D(0，)解析：选D由于函数f(x)为R上奇函数，所以f(0)0a1，所以f(x)ex，由于ex为增函数，而为减函数，所以f(x)ex是减函数，又因为f(1)e，由f(x1)e可得f(x1)f(1)，x11x0，故选D.6已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析：因为f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a1.答案：(0,1)7(2018温州模拟)已知函数f(x)设ab0，若f(a)f(b)，则bf(a)的取值范围是_解析：依题意，在坐标平面内画出函数yf(x)的大致图象，结合图象可知b，bf(a)bf(b)b(b1)b2b.答案：8若不等式x2ax2xa2恒成立，则a的取值范围是_解析：由指数函数的性质知yx是减函数，因为x2ax2xa2恒成立，所以x2ax2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a2，即a的取值范围是(2,2)答案：(2,2)9已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，)时，a的值为0.10已知函数f(x)a|xb|(a0，bR)(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，试求a，b应满足的条件解：(1)f(x)为偶函数，对任意的xR，都有f(x)f(x)即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)记h(x)|xb|当a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是增函数，b2，b2.当0a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是减函数，但h(x)在区间b，)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间2，)上是增函数f(x)在区间2，)上是增函数时，a，b应满足的条件为a1且b2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018杭州模拟)已知定义在R上的函数g(x)2x2x|x|，则满足g(2x1)g(3)的x的取值范围是_解析：g(x)2x2x|x|，g(x)2x2x|x|2x2x|x|g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x0时，g(x)2x2xx，则g(x)(2x2x)ln 210，则函数g(x)在0，)上为增函数，而不等式g(2x1)g(3)等价于g(|2x1|)g(3)，|2x1|3，即32x13，解得1x2，即x的取值范围是(1