人教版选修21第三章空间向量的直角坐标运算讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 空间向量的直角坐标运算（1）单位正交基底：在空间直角坐标系中，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底。单位向量都叫做坐标向量。 （2）设，则有；。 （3）设，则，可简记作：终点坐标减去起点坐标。知识点二 平行与垂直的条件1.设，由向量共线定理知，用坐标表示，得 当与三个坐标平面都不平行时，可简记作对应坐标成比例。 2.设，则由，得两向量垂直的坐标形式为：。 知识点三 长度与夹角（1）设，则。（2）设，则。（3）设，则，其中。注意根据，求由的余弦值后，应根据来确定的值，如若求出，则，而不是。典型例题分析题型1 空间直角坐标的概念【例1】 已知在正四棱锥中，为底面中心，底面边长和高都是2，分别是侧棱的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点的坐标。（1）如甲图，以为坐标原点，分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系；（2）如乙图，以为坐标原点，分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系。 甲 乙解析 要求空间某一点的坐标，只要求出以原点为起点、为终点的向量的坐标即可，设，分別是与轴、轴、轴的正方向方向相同的单位坐标向量。答案（1）因为点在坐标平面内，且底面正方形的中心为、边长为2，所以，所以的坐标为（1，1，0），即点的坐标为。同理可得，。又点在轴上，所以，所以的坐标为（0，0，2），即点的坐标为。因为为侧棱的中点，所以，所以点的坐标为同理点的坐标为。故所求各点的坐标分别为，。（2）因为底面正方形的中心为、边长为2，所以。由于点在轴的正半轴上，所以，即点的坐标为。同理可得。因为为侧棱的中点，所以，所以点的坐标为2。同理点的坐标为。故所求各点的坐标分别为。规律方法总结 同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的。建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造。【变式训练1】 如下图，在棱长为2的正方体中，以底面正方形的中心为坐标原点，分别以射线的指向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系。试写出正方体八个顶点的坐标。 答案 设分别是与轴、轴、轴的正方向方向相同的单位坐标向量。 因为底面正方形的中心为、边长为2，所以。 由于点在轴的正半轴上，所以，即点的坐标为。 同理可得， 又，所以， 即点的坐标为。 同理可得。题型2 空间向量的坐标运算【例2】已知三点的坐标分别为。分别求点的坐标，使：（1）；（2）。解析 因为一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标，所以此可先求出向量的坐标，然后由的坐标表示式求出点的坐标。答案 由三点的坐标可得。（1）因为，所以点的坐标为；（2）因为，又，所以，所以点的坐标为。规律点拨 以坐标原点为起点，所以的坐标就是点的坐标；以点为起点，此时的坐标不是点的坐标，点的坐标应该是的坐标加上起点的坐标。另外第（2）题也可以设出点的坐标，然后用方程的思想求解。 【变式训练2】 已知，若在线段上存在一点，使，求点的坐标。 答案 因为，所以，化简，整理得。又，所以。所以点的坐标为。 题型3 共线 【例3】 已知，求满足的点的坐标。 解析 由已知条件，得，这样可用向量共线的充要条件得到关系式，求解可得结论。 答案 设点，则，。因为，所以，由此可得，所以，解之，得，从而所求点的坐标为。 规律总结 设，则，。设出所求点的坐标，根据向量共线的充要条件得出关系式，然后再用方程的思想进行求解。本题采用的方法是用向量坐标处理空间向量共线问题的常用方法。【变式训练3】 已知，试求实数的值，使。 答案 。由，得，解题。 题型4 数量积与垂直的坐标表示 【例4】已知向量， （1）判断与的位置关系；（2）若，求；（3）若，求在方向上的投影。 解析 运用共线向量定理解决共线问题，运用数量积的结果可判定两个向量是否垂直。答案（1）因为，所以，所以； （2）因为，所以，解之，得，所以，从而； （3）因为，所以，所以，解之得，所以，所以在方向上的投影为。规律总结 要解决与向量有关的问题，必须牢固掌握相关的知识点和常规的方法。特别是在第（3）小题中，要知道在方向上的授影公式为：，而在方向上的投影公式为。两个公式是不一样的，要注意体会。 【变式训练4】 已知，点在直线上运动， （1）当的横坐标为时，用表示； （2）求当取最小值时，支的坐标。 答案 （1）因为点在直线上运动，所以。又，的横坐标为，所以。（2） 因为，所以当且仅当时，取最小值，此时。 题型5 夹角与模 【例5】 已知是一个空间向量单位正交基底，向量，（1）求向量与的夹角；（2）求向量与分别所在直线的夹角。 解析 求向量与的夹角，可以先确定它们的坐标，然后用两个向量的夹角公式求解。 答案（1）因为是一个空间向量单位正交基底，向量，所以，所以所以。 （2）由于向量与所在直线的夹角为，所以向量与所在直线的夹角。 规律总结 单位正交基底的表示与向量的坐标表示实质上是一样的，只在于形式上的区别。两个向量之间的夹角范围是，而两条直线之间的夹角范围为。用向量方法求两条直线的夹角时，要注意上述两者之间的区别。第（1）小题中，说明向量与之间的角是一个钝角，而这两个向量所在的直线之间的角即为。 【变式训练5】 已知是一个空间向量单位正交基底，向量，若向量与所在直线的夹角为60，试求的值。 答案 由题意知，。 题型6 综合应用 【例6】 已知的三个顶点。 （1）求的各边之长； （2）求的三个内角的大小； （3）写出的重心的坐标及外心的坐标。 解析 应用空间两点间距离公式可求出三角形的三边长；根据三角形的三边长确定其形状，然后再根据其形状及向量夹角公式确定三角形三个内角的大小；根据三角形重心坐标公式确定其重心坐标，再根据三角形形状确定其外心坐标。答案（1），。，（2），。，从而，所以。所以，。 （3）设的重心，则得：。由第（2）小题知，是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以其斜边之中点即为之外心，故外心坐标为。规律总结 （1）求三角形内角的大小，可用向量的夹角公式求解，但是方向不能搞错，比如，则，这就错了。当然求出来的是锐角还是钝角，也可以根据三角形形状来确定。比如，本题由三角形边长确定其形状，从而确定其三内角的大小。（2）三角形的重心坐标公式是三个角顶点坐标的平均数。（3）直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点。 【变式训练6】 在空间直角坐标系中，已知是平面内任意一点，试求满足的方程。答案 据共面向量定理知，点在平面内的充要条件是存在有序实数对使，即，由此得消去得方程。 规律 方法 总结（1）利用空间向量的坐标运算证明线线垂直（或平行）的方法：在空间的两直线上，分别取对应向量，。要证，只需证，即证，也就是证明；要证，只需证，且无公共点，即证明。 （2）利用空间向量的坐标运算求两异面直线夹角的方法：可以分别在两条异面直线上取对应的向量（方向向量），那么这两个向量的夹角（或夹角的补角）就是这两条异面直线所成的角，而两个向量的夹角，我们可以通过建立坐标系，利用空间两向量的夹角公式求得。 若两异面直线的方向向量分别为，应利用，以防止在问题的答案中出现两异面直线所成角为钝角或余弦值为负值的错误。 （3）利用空间向量的坐标运算求两点间距离的方法：已知两点，可设法确定这两点的坐标：，转化为求向量的模。即。定时 巩固 检测第1课时 空间向量的直角坐标运算基础训练1.已知点，则向量的坐标为 （ ）A.（1，1，-3） B.（-1，-1，3）C.（-1，1，-1） D.（0，1，0）【答案】 B（点拨：。）2.已知向量的横坐标为0，则向量 （ ）A.与平面平行 B.与平面垂直C.与轴平行 D.与轴垂直【答案】 A3.下面各组向量共面的是（向量以为起点）A.B.C.D.【答案】 A（点拨：。）4.已知向量与向量平行，则 。【答案】（点拨：平行向量的坐标对应成比例。）5.已知，若，则等于 。【答案】 -4（点拨：，解得。）能力提升6.点关于平面对称的点的坐标是 （ ）A.（-3，0，-7）B.（-3，5，7）C.（3，-5，7）D.（-3，-5，-7）【答案】 B（点拨：点关于面对称，坐标变为相反数。）7.若为平行四边形，且，则顶点的坐标为 （ ）A. B.（2，3，1）C.（一3，1，5） D.（5，13，-3）【答案】 D（点拨：结合图形可得，故，。）8.已知，若、共同作用在一个物体上，使物体从点移到点，则合力所作的功为 。【答案】14（点拨：。）9.与向量共线且满足的向量 。【答案】（一4，2，-4）（点拨：可设，由知，。）10.已知正三棱柱的各棱长都为1（如右图），是底面上边的中点，是侧棱上的点，且。求证：。【答案】设，则由已知条件和正三棱柱的性质，得。，。 第2课时 空间向量的直角坐标运算的应用基础训练1.到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合为 （ ）A.B.C.D.【答案】 A（点拨：设动点，则由到定点距离得）2.设，则的中点到的距离为 （ ）A. B. C. D.【答案】 B（点拨：设中点，则。）3.若两点的坐标是，则的取值范围是（ ）A.0，5 B.1，5 C.0，2 D.1，4【答案】 B（点拨：，故。）4.已知与的夹角为120，则的值为 （ ）A. B. C. D.【答案】 C（点拨：，故。）5.若向量夹角的余弦值为，则等于 。【答案】 -2或（点拨：，或。）能力提升6.已知，则的最小值是 。【