小波变换课件ch4Mallat算法及二维小波2.ppt

第四章 Mallat算法 及二维小波,小波变换应用于信号处理的一般过程,4.1 基于正交小波的分解算法,由已知序列 分别求出 级的近似序列 和 级细节序列 分解目标： 如何分解？,结论：序列 和 可分别由序列 通过数字滤波器 和 ，并对输出作偶数点抽样得到 。 推导:,n,多级分解,无需尺度函数和小波函数的具体表达式,离散小波变换的数据量不变性质,从j=0开始经J级分解后最后得到,初始化问题, , =？ 按照定义 实际上，,原始数据就是j0的近似序列,DWT的相图,DWT分解树,8点的DWT相图,4.2重构算法,由已知近似序列 和细节序列 求出 序列 考虑到 以及同级尺度函数的平移正交性，有,令,则,则,原数据每两个 之间补0所得,2l+s=k,=1,重构算法,多级重构算法,4.3边界处理,以下两式的前提式信号为双向无限长序列 ， 实际信号是有限长序列，矛盾 解决方法：将信号以某种方式延拓为双向无限长序列 边界处理问题 一般的，数据 的下标范围是0N， 滤波器记为 ， ，其长度 ，那么分解过程就是,四种延拓方法,补零延拓 简单周期延拓 以边界点为对称中心的对称延拓 边界值重复的对称周期延拓,补零延拓,简单 保留多于N/2的信息才能重构长度为N的序列 如果信号的边界点的值与0差别很大，则会在边界处产生阶跃变化,简单周期延拓,数据总量保持不变 当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的剧烈突变,以边界点为对称中心的对称周期延拓,step1 从 到 ，N2N2 step2 作N周期延拓 主周期内以n=0和n=N-1为对称中心 延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变,不重复S(0),S(N-1),当 不对称时，数据总量几乎增大一倍 当 对称时，数据总量保持不变 (1)L=2K+1,c(n)=c(-n),输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构。 (滤波器的对称中心为0),(2) L=2K+2, c(n)=c(-1-n),输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5),边界值重复的对称周期延拓,作对称延拓时重复原信号的边界值 主周期内以n=-0.5和n=N-0.5为对称中心 延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变,重复S(0),S(N-1),(1)L=2K-1,c(n)=c(-n) (2)L=2K,c(n)=c(1-n),输出序列是 2N 的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留0,N-1的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构。(采用偶数长的对称（反对称）滤波器的对称中心为0.5,奇数长的对称滤波器的对称中心为0),一维小波分解重构实例,clc;clear; % 1.正弦波定义 f1=50; % 频率1 f2=100; % 频率2 fs=2*(f1+f2); % 采样频率 Ts=1/fs; % 采样间隔 N=120; % 采样点数 n=1:N; y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts); % 正弦波混合 figure(1) subplot(2,1,1) plot(y); title(Signal) subplot(2,1,2) stem(abs(fft(y); title(Amplitude Spectrum),figure1,% 2.小波滤波器谱分析 h=wfilters(db30,l); % 低通 g=wfilters(db30,h); % 高通 h=h,zeros(1,N-length(h); % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察） g=g,zeros(1,N-length(g); % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察） figure(2); subplot(2,1,1) stem(abs(fft(h);%stem函数用于绘制火柴梗图 title(Low-pass Filter(V_0) subplot(2,1,2) stem(abs(fft(g); title(High-pass Filter(W_0),figure2,% 3.MALLAT分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现) sig1=ifft(fft(y).*fft(h); % 低通(低频分量) sig2=ifft(fft(y).*fft(g); % 高通(高频分量) figure(3); % 信号图 subplot(2,1,1) plot(real(sig1); title(Low-frequency Component) subplot(2,1,2) plot(real(sig2); title(High-frequency Component),figure3,figure(4); % 频谱图 subplot(2,1,1) stem(abs(fft(sig1); title(Amplitude Spectrum of Low-frequency Component) subplot(2,1,2) stem(abs(fft(sig2); title(Amplitude Spectrum of High-frequency Component),figure4,% 4.MALLAT重构算法 sig1=dyaddown(sig1); % 2抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2抽取 sig1=dyadup(sig1); % 2插值，补零 sig2=dyadup(sig2); % 2插值 sig1=sig1(1,1:N); % 去掉最后一个零 sig2=sig2(1,1:N); % 去掉最后一个零 hr=h(end:-1:1); % 重构低通 gr=g(end:-1:1); % 重构高通 hr=circshift(hr,1); % 位置调整圆周右移一位 gr=circshift(gr,1); % 位置调整圆周右移一位 sig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1); % 低频，卷积定理 sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2); % 高频 sig=sig1+sig2; % 源信号,% 5.比较 figure(5); subplot(2,1,1) plot(real(sig1); title(Reconstructed Low-frequency Signal); subplot(2,1,2) plot(real(sig2); title(Reconstructed High-frequency Signal); figure(6); subplot(2,1,1) stem(abs(fft(sig1); title(Spectra of the Reconstructed Low-frequency Signal); subplot(2,1,2) stem(abs(fft(sig2); title(Spectra of the Reconstructed High-frequency Signal); figure(7) plot(real(sig),r,linewidth,2); hold on; plot(y); legend(Reconstructed Signal,Original Signal) title(Comparisons between Original Signal and Reconstructed Signal),figure5,figure6,figure7,Haar小波变换完成一维信号的分解和重构,滤波器组系数： 分解低通： 分解高通： 重构低通： 重构高通： 一维原始信号：,分解过程,卷积 二抽取 （低通）: （高通）:,重构过程,二插值 卷积 求和：,4.4 二维正交小波,由一维小波到高维小波，空间由 到 小波变换应用于图像处理，需要有二维小波函数和二维尺度函数 构造二维小波的MRA方法： 的多分辨率分析是 的子空间序列存在唯一的尺度函数 ，其伸缩和平移构成每个 的正交基。 特殊情况下， 。如果 是 的MRA，则 是 的MRA,分离变量方法,二维小波分解算法,行处理：将 的每一行（n 取定值）看成是一个一维信号，分别通过低通滤波器 和高通滤波器 列处理：将上述结果的每一列当成一维信号，再次通过低通滤波器 和高通滤波器,二维小波分解数据总量保持不变,是 、 均为低频的信号分量,是 为低频、 为高频的信号分量,是 、 均为高频的信号分量,是 为高频、 为低频的信号分量,2DDWT,二维小波重构算法,在可分离变量的情况下，二维重构算法也可通过行处理和列处理的两个步骤进行,4.5 小波变换在图像去噪中的应用,数据在采集传输的过程中可能受到噪声污染 噪声可用平稳Gaussian随机过程 来描述 当噪声功率谱为常数时，称为Gaussian白噪声。 噪声的数学模型：加性噪声和乘性噪声,图像去噪问题的特殊性,最佳线性滤波理论是在平稳随机过程的前提下推导的，而实际的自然图像往往偏离这一假设甚远 Wiener滤波器的最优化准则是MSE，而人类视觉系统(Humman Visual System,HVS)对图像质量的评价并不与MSE准则相一致，特别是对于图像边缘的保真度非常敏感。,图像去噪的关键问题是既要去除（或减弱）噪声所对应的 高频成分，又要保留（或增强）边缘所对应的高频成分,小波变换应用于图像去噪,Step1 对含噪信号进行小波分解，获取近似序列细节序列 Step2 对细节系数进行处理 Step3 利用step1中获取的近似序列step2中获取的处理后的细节序列进行重构，获取去噪后的有用信号,clc clear all X,map=imread(Lena.BMP); X0=imnoise(X,gaussian,0,0.05); c,s = wavedec2(X,2,db1);%二维小波分解 a1 = wrcoef2(a,c,s,db1,1);%利用小波分解中的第一层低频系数进行重构，即实现低通滤波消噪 a2 = wrcoef2(a,c,s,db1,2); %这相当于把第一层的低频图像再一次经过低通滤波处理 subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title(原始图象,fontsize,12);axis squa