行列式和线性方程组的求解.ppt

,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,自主学习,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩占 90%,平时成绩占5%,分配时间,学习方法,数学试验占5%,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习(Study, not learn)的人 _Alvin Toffler(未来学家),怎样做(How?),为什么这样做(Why?),不这样做可以吗 (Other ways ?),应试型学习应用型学习,按时完成作业 A B C,思维训练,趣味思考题,掌握三基基本概念 ( 定义、符号) 基本理论 ( 定理、公式) 基本方法 ( 计算、证明) 提前预习体会思路 多动手，勤思考深入体会思想方法 培养自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力,学习方法,返回,训练思维，塑造学生内在素质,1.学会观察，发现规律,2.培养耐心与坚韧的性格,书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心,3.培养学生的发散思维,将结论做为条件进行倒推,一题多解，多解归一，多题归一,培养学生多角度看问题,利用精炼的语言艺术归纳、比拟,探讨变换问题条件,转换思考角度，训练思维的求异性,5.培养学生化繁为简的思考模式,6.培养学生分析问题的能力,非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力,4.转化思想，训练思维的联想性,返回,课程内容与结构,一、线性代数,主要任务就是求解并应用线性方程组,二、空间解析几何,三、两者关系：,数量关系 ,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面，二次曲面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,三维n维,ch1,核心工具初等变换,n 维 空 间,成功的五要素空间,第一、目标,第二、胸怀,第三、勇气,第四、坚持,第五、聪明,创业老板成功十意识空间,一、创造梦想、发现机遇的意识,二、凝聚梦想、专注热爱的意识,三、学习新知、进取提升的意识,四、坚持社会公理、科学理性思维的意识,五、突破陈规、创新创造的意识,六、平和心态、调节情绪的意识,七、关注细节、紧盯结果的意识,八、改造员工、影响他人的意识,九、敢担责任、直面挑战的意识,十、居安思危、自省自警的意识,线 性 代 数,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间 的关系,向量间 的关系,矩阵的性质和运算,行列式 的运算,返回,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,矩阵的秩,核心工具初等变换,线性方程组：,(2) 2 (1) 可得：,1/3 (2) 可得：,(1) (2) 可得：,高斯消元法：,(2) + k (1) (k0),k (2) (k0),(1) (2),初等变换,线性代数的核心工具,经济政策模型,返回Det,LE,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,线性方程组的应用: 平面的位置关系 电路 化学方程式配平 交通流量 营养配方 搜索引擎 投入产出模型 ,1973 Nobel经济学奖,1.1 二阶、三阶行列式,一. 排列的逆序数,二. n阶行列式的定义,三. 行列式的转置,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,一. 二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21,当 a11a22a12a21 0 时,1.1 二阶、三阶行列式,则当D = a11a22a12a21 0时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,方程组有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,= a11b2b1a21,二阶行列式的对角线法则,Cramer法则,例,三阶行列式的对角线法则,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题: 能用对角线法则计算四阶行列式吗?,a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4,对角线法则可得八项的代数和；,每项的四个元素位于不同的行列 可得 4！= 24 项的代数和.,产生矛盾,否,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a3b2c1a1b3c2a2b1c3,二. 三阶行列式的特点,每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1, 2, 3的6种排列.,各项系数与列标的排列的逆序数有关.,(1)1,对换2次,对换1次,(1)2,问题:如何利用二三阶行列式的 其他特点计算四阶以上行列式?,对换的次数 称为逆序数.,(1)0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33,排列j1 j2 j3的逆序数,对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,1. 逆序数,逆序：违反从小到大的正常顺序,一个排列的逆序数: 所有数的逆序数的总和.,奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.,逆序数k：设i1 i2 ik in是1n的一个排列, 则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后) 比ik大(小)的数的个数.,三. 排列的逆序数与奇偶性,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,对换(变成12n)的次数称为逆序数.,例1. 求下列排列的逆序数 (1) 32514,(2) n(n1)(n2) 321,(3) (2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,2. 对换,对换: 对调排列中的任两个元素, 其余元素不动.,相邻对换: 将相邻的两个元素对换.,逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,定理1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性.,推论. n2时, n个元素的所有排列中, 奇、偶 排列各占一半, 即各有n!/2个.,注: 任一相邻对换都改变排列的奇偶性.,任一对换都可通过奇数次相邻对换来实现.,a1 al ab1 bm b c1 cn,a1 al ab b1 bm c1 cn,a1 al b b1 bm a c1 cn,a1 al ab1 bm-1bbm c1 cn,a1 al bab1 bm c1 cn,a1 al bb1a bm c1 cn,对换m次,对换m+1次,共对换2m+1次,a1 al ab b1 bm,a1 al ba b1 bm,若ab,则a =a,b =b1,若ab,则a =a+1,b =b, = 1., = +1.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,1.1-2 方阵的行列式,一. 二元线性方程组与二阶行列式,三. 排列的逆序数与奇偶性,四. n阶行列式的定义,1. 逆序数,2. 对换：,1. n阶行列式的定义,2. 几个特殊的行列式,二.三阶行列式的特点,每一个对换都改变排列的奇偶性.,第一章 行列式和线性方程组的求解,3. 行列式的转置,对角线法则,1. n阶行列式的定义,注: n阶行列式是 n! 项的代数和.,四. n阶行列式的定义（Determinant）, n阶行列式是定义在nn个数集合 (n阶方阵)上的一个函数，即 f(A)=detA: Rnn R., 当n = 1时, 一阶行列式|a11| = a11, 有正负号.,排列j1 j2 jn的逆序数,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,2. 几个特殊的行列式,= a11a22ann,a1n a2,n1an1,(1) 对角行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,第二章 矩阵运算和行列式,(2) 上(下)三角形行列式,= a11 a22ann,=,2.2 方阵的行列式,=,a1na2n-1an1,第二章 矩阵运算和行列式,例1. 证明f() 是的n次多项式, 并求n, n1的系数及常数项.,f() =,d1 = (a11)(a22)(ann),f(0),2.2 方阵的行列式,= (1)n|A|,= (1)n,= |A|,3. n阶行列式的另外一种定义,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,= a11 a22 a33,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,+ a31 a12 a23,+ a21 a32 a13, a11 a32 a23, a21 a12 a33, a31 a22 a13,3. n阶行列式的另外一种定义,证明：,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,行列标逆序数之和的奇偶性不变,4. 行列式的转置 (Transpose),性质1 |AT| = |A|.,记|A| =, |AT| =,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,或|A |=,= |B|,1.1-2 方阵的行列式,一. 二元线性方程组与二阶行列式,三. 排列的逆序数与奇偶性,四. n阶行列式的定义,二.三阶行列式的特点,|A|: Rnn R,Ex.,第一章 行列式和线性方程组的求解,= |AT|,对角线法则,(A) 填空题选择题：作为课下练习,一. (A) 1(1-7),