高考数学第四章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数教案理苏教版.docx

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 一各象限符号二三四三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题体验1(2019海门一中月考)若角满足45k180，kZ，则角的终边落在第_象限答案：一、三2(2018南京调研)已知角的终边过点P(5,12)，则cos _.答案：3已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：1.21注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .小题纠偏1(2019如皋模拟)为第_象限角答案：二2若角终边上有一点P(x,5)，且cos (x0)，则sin _.答案： 题组练透1(2019海安模拟)若是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角故是第一或三象限角答案：一或三2在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.答案：675或3153终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案：4设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角解析：由角是第三象限角，知2k2k(kZ)，则kk(kZ)，故是第二或第四象限角由sin，知sin0，所以只能是第四象限角答案：四谨记通法1终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出0,2)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合2确定k，(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)再写出k或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置题组练透1(2019盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为_解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l|r313.答案：32已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.答案：1或43如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为3，即弧度数变为原来的3倍答案：3谨记通法弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l|r，扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量锁定考向任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定；(3)三角函数线的应用 题点全练角度一：三角函数定义的应用1(2019淮安调研)已知角的终边经过点(4，a)，若sin ，则实数a的值为_解析：角的终边经过点(4，a)，sin ，解得a3.答案：32已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_.解析：因为角的终边经过点P(x，6)，且cos ，所以cos ，解得x或x(舍去)，所以P，所以sin ，所以tan ，则.答案：角度二：三角函数值的符号判定3若sin tan 0，且0，则点(cos ，sin )在第_象限解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角故为第三象限角，所以cos 0，sin 0.故点(cos ，sin )在第二象限答案：二角度三：三角函数线的应用4(2018汇龙中学测试)设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，给出以下不等式：MPOM0；OM0MP；OMMP0；MP0OM.其中正确的是_(填序号)解析：因为sinMP0，cosOM0，所以OM0MP.答案：通法在握定义法求三角函数的3种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标演练冲关1(2019无锡调研)如图，已知点A为单位圆上一点，xOA，将点A沿逆时针方向旋转角到点B，则sin 2_.解析：由题意可得，cos，cos2cos2121，即sin 2，sin 2.答案：2(2018扬州调研)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕O逆时针旋转450到点B，则点B的坐标为_解析：设B(x，y)，由题意知OAOB2，BOx60，且点B在第一象限，所以x2cos 601，y2sin 60，所以点B的坐标为(1，)答案：(1，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如东模拟)与600终边相同的最小正角的弧度数是_解析：600720120，与600终边相同的最小正角是120，120.答案：2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为_解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.答案：3(2019苏州期中)已知扇形的圆心角为，其弧长是其半径的2倍，则_.解析：圆心角2，2，sin 0，cos 0，tan 0，1111.答案：14已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析：因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案：85已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则m_.解析：由题设知点P的横坐标x，纵坐标ym，所以r2|OP|2()2m2(O为原点)，即r.所以sin ，所以r2，即3m28，解得m.答案：6已知集合M，N，则M，N之间的关系为 _.解析：k(2k1)是的奇数倍，所以NM.答案：NM二保高考，全练题型做到高考达标1(2019常州调研)若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则该扇形圆心角的弧度数为_解析：设该扇形圆心角的弧度数是，半径为r，根据题意，有解得2，r1.故该扇形圆心角的弧度数为2.答案：22(2018黄桥中学检测)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan 2_.解析：由三角函数的定义可得cos .因为cos x，所以x，又是第二象限角，所以x0，解得x3，所以cos ，sin ，所以 tan ，所以tan 2.答案：3已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin _.解析：因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2.答案：cos 24已知角2的终边落在x轴上方，那么是第_象限角解析：由题知2k22k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，所以为第一或第三象限角答案：一或三5与2 017的终边相同，且在0360内的角是_解析：因为2 0172175360，所以在0360内终边与2 017的终边相同的角是217.答案：2176(2019淮安调研)已知为第一象限角，sin ，则cos _.解析：为第一象限角，sin ，cos .答案：7一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为，则，所以.所以扇形的弧长与圆周长之比为.答案：8在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.答案：9(2019镇江中学高三学情调研)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21按顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为_解析：由题意可得点Q的横坐标为cos，Q的纵坐标为sinsin ，故点Q的坐标为.答案：10已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解：设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，所以sin ，所以10sin 330；当k0时，rk，所以sin ，所以10sin 330.综上，10sin 0.11已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或所以或6.(2)法一：因为2rl8，所以S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：因为2rl8，所以S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB2sin 124sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：如图，作CQx轴，PQCQ，Q为垂足根据题意得劣弧D2，故DCP2弧度，则在PCQ中，PCQ弧度，CQcossin 2，PQsincos 2，所以P点的横坐标为2CQ2sin 2，P点的纵坐标为1PQ1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，此即为向量的坐标答案：(2sin 2,1cos 2)2已知sin 0，