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课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积及其应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1(2019海门模拟)向量a(3,4)在向量b(1,1)方向上的投影为_解析:向量a(3,4),b(1,1),向量a在向量b方向上的投影为|a|cos .答案:2(2018江苏百校联盟联考)已知平面向量a,b的夹角为,且a(ab)8,|a|2,则|b|_.解析:因为a(ab)8,所以aaab8,即|a|2|a|b|cosa,b8,所以42|b|8,解得|b|4.答案:43(2018苏州期末)已知a(m,2),b(1,n),m0,n0,且|a|4,|b|2,则向量a与b的夹角是_解析:设向量a与b的夹角是,0,a(m,2),b(1,n),m0,n0,且|a|4,|b|2,m2416,1n24,解得m2,n.abm2n442cos ,cos ,则向量a与b的夹角是.答案:4(2018滨海期末)已知向量a(1,3),b(3,t),若ab,则|2ab|_.解析:向量a(1,3),b(3,t),ab,ab33t0,解得t1,b(3,1),2ab(1,7),故|2ab|5.答案:55(2018淮安高三期中)在平行四边形ABCD中,AB2,AD1,ABC60,则_.解析:由题意得,所以()2421cos 1203.答案:36(2018南通一调)已知边长为6的正三角形ABC,AD与BE交于点P,则的值为_解析:如图,以D为原点,以BC为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,则B(3,0),C(3,0),D(0,0),A(0,3),E(1, 2),P,所以|22.答案:二保高考,全练题型做到高考达标1(2018淮安调研)已知向量a(1,x),b(1,x),若2ab与b垂直,则|a|_.解析:由已知得2ab(3,x),而(2ab)b03x20x23,所以|a|2.答案:22(2019如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60, a(3,4),|b|1,则|a2b|_.解析:a(3,4),|a|5,又|b|1,ab |a|b|cos 6051,|a2b|2a24b24ab2541019,则|a2b|.答案:3(2018苏北四市期末)已知非零向量a,b满足|a|b|ab|,则a与2ab夹角的余弦值为_解析:因为非零向量a,b满足|a|b|ab|,所以a2b2a22abb2,aba2b2,所以a(2ab)2a2aba2,|2ab|a|,cosa,2ab.答案:4(2018泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中,P为矩形ABCD所在平面内一点,且满足PA3,PC4,矩形对角线AC6,则_.解析:由题意可得()()29()09936cos(PAC)918918.答案:5(2018苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2,B,点P满足,R,若3,则_.解析:法一:由题意可得22cos 2,() ()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463,所以.法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(1,)令P(x,0),由(3,)(x1,)3x333x3得x1.因为,所以.答案:6(2018苏北四市调研)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA3,OC5.若7,则_.解析:()()()()22,同理,227,所以222279.答案:97(2019崇川一模)若非零向量a与b满足|a|a b|2,|b|1,则向量a与b夹角的余弦值为_解析:非零向量a与b满足|a|ab|2,|b|1,|a|2|ab|2|a|2|b|22ab,即ab|b|212,设a与b的夹角为,则cos ,向量a与b夹角的余弦值为.答案:8(2018盐城期中)如图,在四边形ABCD中,A,AB2,AD3,分别延长CB,CD至点E,F,使得,其中0,若15,则的值为_解析:(),()(2)(93)15,.答案:9(2019通州调研)设两个向量a,b不共线(1)若ab,2a8b,3(ab),求证:A,B,D三点共线;(2)若|a|2,|b|3,a,b的夹角为60,求使向量kab与akb垂直的实数k的值解:(1)证明:(ab)(2a8b)3(ab)6(ab)6,与共线,且有公共点A,A,B,D三点共线(2)kab与akb垂直,(kab)(akb)0,ka2(k21)|a|b|cos 60kb20,即3k213k30,解得k.10在四边形ABCD中,已知AB9,BC6,2.(1)若四边形ABCD是矩形,求的值;(2)若四边形ABCD是平行四边形,且6,求与夹角的余弦值解:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以,即0,又AB9,BC6,2,所以,所以22629218.(2)设与的夹角为,由(1)得,2262 96cos 926,所以cos .故与夹角的余弦值为.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1(2018徐州高三年级期中考试)如图,在半径为2的扇形AOB中,AOB90,P为上的一点,若2,则_.解析:如图,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),由2,可得2x2,x1,P为A上的一点,所以|2,所以P(1,),(1,),又(2,2),所以22.答案:222(2018南通、扬州、泰州、淮安调研)如图,已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q.若3,5,则()()的值为_解析:法一:因为,所以2,而,由于,所以 0,所以()()(2)2,又因为Q是BC的中点,所以2,故2()()2292516.法二:由题意得ABC是不确定的,而最后的结果是唯一的,因此取ABBC,从而P为AC的中点又|3,|5,所以|4,cosBAC,故(),从而()()()229352516.答案:163(2019姜堰中学调研)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(cos(AB),sin(AB),n(cos B,sin B),且mn.(1)求sin A的值;(2)若a4,b5,ADBC于D,
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