高考数学第七章不等式、推理与证明第40讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习理新人教A版.docx

第40讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题夯实基础【p86】【学习目标】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决2掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合【基础检测】1以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是()Axy10C2x5y100 D4x3y12【解析】将点(0，0)分别代入四个选项，验证可知答案为D.【答案】D2已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A2 B6 C8 D11【解析】作出变量x，y满足约束条件的可行域，如图，由z3xy知，y3xz，所以动直线y3xz的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由得A(3，2)，结合可行域可知当动直线经过点A(3，2)时，目标函数取得最大值z33211.【答案】D3(x2y1)(xy4)0表示的平面区域为()【解析】由题得或先作出不等式组对应的可行域，是选项B中上面的一部分，再作出对应的可行域，是选项B中下面的一部分，故选B.【答案】B4某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是平均年利润率0.3，对远洋捕捞队的调研结果是：平均年利润率0.4，为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大_千万【解析】根据题意，设本地养鱼场投资额为x千万元，远洋捕捞队投资额为y千万元，则目标函数z0.3x0.4y，画出线性约束条件的可行域如图所示：由图可知，当经过点M(2，4)时，截距最大，此时z0.320.442.2，所以最大利润为2.2千万元【答案】2.2【知识要点】1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，_不包括_边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)_包括_边界直线(2)在平面直角坐标系中，设直线AxByC0(B不为0)及点P(x0，y0)，若B0，Ax0By0C0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式AxByC0表示直线AxByC0的上方的区域若B0，Ax0By0C0，则点P(x0，y0)在直线的下方，此时不等式AxByC0表示直线AxByC0的下方的区域若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分2线性规划相关概念名称意义约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(或方程)组目标函数关于x，y的函数_解析式_可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数最优解使目标函数取得_最大值或最小值_的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的_最大值_或_最小值_3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务解线性规划问题的一般步骤：审题、设元_列出约束条件_(通常为不等式组)建立_目标函数_作出_可行域_求_最优解_典例剖析【p86】考点1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)设不等式组表示的平面区域为1，直线yk分平面区域1为面积相等的两部分，则k_【解析】作出可行域如图所示：直线yk恒过定点，要使直线yk分平面区域1为面积相等的两部分，则直线必过线段AB的中点C，故kkCD.【答案】(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_【解析】两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0，0)点在直线x2y20右下方可知x2y20，又(0，0)点在直线xy10左下方，可知xy10，即为阴影部分所表示的可行域【答案】【点评】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法：(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应于特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点考点2求目标函数的最值已知求：(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范围；(4)z的取值范围【解析】作出可行域如图所示的阴影部分，求出顶点的坐标A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)(1)易知可行域内各点均在直线x2y40的上方，故x2y40，将C(7，9)代入得z的最大值为21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，因为kQA，kQB，故z的取值范围为.(4)z1，由(3)知，z的取值范围为.【点评】充分理解目标函数并将目标函数赋予几何意义，如截距、点到直线的距离、过已知点的直线的斜率等是本例求解的关键和切入点(1)若实数x，y满足不等式组且xy的最大值为9，则实数m()A2 B1 C1 D2【解析】令zxy，则yxz，z表示斜率为1的直线在y轴上的截距当z最大值为9时，yxz过点A，因此xmy10过点A，所以m1.【答案】C(2)已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为_【解析】依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域如图所示要使目标函数zyax取得最大值时的最优解有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是a1.【答案】1【点评】线性规划问题是在约束条件是线性的、目标函数也是线性的情况下的一类最优解问题，在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只在可行域的顶点或者边界上取得最值；当求解目标中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件考点3线性规划的实际应用学生的体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪已知1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物A和食物B，则最低花费是_元【解析】设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总花费为z元，则目标函数为z28x21y.其中x，y满足的约束条件为即作出可行域如图所示：将目标函数z28x21y变形为yx，显然，当直线yx过点M时，纵截距最小由，得M.所以每天同时食用kg食物A和kg食物B的花费最小，为zmin282116(元)【答案】16【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么；(2)转化设元，写出约束条件和目标函数；(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划来年需要注意简单的线性规划求最值问题方法总结【p87】1二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用ykxb表示的直线将平面分成上下两部分不等式区域ykxb表示直线上方的半平面区域ykxb表示直线下方的半平面区域第二种：用AxByC0(B0)表示的直线将平面分成上下两部分(B0读者完成)不等式B0B0AxByC0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域AxByC0表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将AxByC0表示的直线转化成ykxb的形式即是第一种第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括2线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；移：由zaxby变形为yx，所求z的最值可以看成是求直线yx在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将直线axby0平移，在可行域中观察使最大(或最小)时所经过的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；答：写出最后结论(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解走进高考【p88】1(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_【解析】作出可行域如图所示，作出直线3x2y0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z3x2y取得最大值，且zmax32206.【答案】62(2018浙江)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以A(2，2)，B(1，1)，C(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(如图)由线性规划知识可知，目标函数zx3y在点A(2，2)处取得最大值，在点C(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmin268.【答案】2；8考点集训【p220】A组题1设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A7 B8 C9 D14【解析】作可行域，如图所示，直线z3xy过点A(2，3)时z取最大值9.【答案】C2已知实数x，y满足线性约束条件则其表示的平面区域的面积为()A.B.C9 D.【解析】作出满足约束条件的可行域，如图所示：可知1x4范围扩大，实际只有0x3，其平面区域表示的阴影部分是一个三角形，其面积为S3.【答案】B3若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是()A(4，2) B(4，1)C(，4)(2，) D(，4)(1，)【解析】如图，zax2y，yx仅在点(1，0)处在y轴上的截距最小，12，4a2.【答案】A4已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的取值范围是()A. B.C. D.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得zx2y2的最小值为点O到直线BC：2xy20的距离的平方，zmin，最大值为点O与点A(2，3)的距离的平方，zmin13.【答案】C5设实数x，y满足则z的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0，0)的连线的斜率，如图，求出可行域的顶点坐标A(3，1)，B(1，2)，C(4，2)，则kOA，kOB2，kOC，可见，结合函数的图象，得z.【答案】D6设变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是_【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示易知直线zaxy与xy2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，a1或a3.【答案】1，37已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3，2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围【解析】(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0.解得18a14.故a的取值范围是(18，14)8电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【解析】(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6，3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多B组题1已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在