高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第50讲离散型随机变量的分布列、期望与方差练习.docx

第50讲离散型随机变量的分布列、期望与方差夯实基础【p108】【学习目标】1了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布2会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题3理解超几何分布的试验模型，会求超几何分布的分布列、期望与方差【基础检测】1抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X4表示的基本事件是()A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点【解析】甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D.【答案】D2已知XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则n和p值分别为()A100和0.08 B20和0.4C10和0.2 D10和0.8【解析】XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，从而有解得n10，p0.8.【答案】D3已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A.B4 C1 D1【解析】E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.【答案】A4有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X1)()A.B.C.D.【解析】根据题意，P(X1)P(X0)P(X1).【答案】B5已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3，4)，则P(2X4)等于()A.B.C.D.【解析】由分布列的性质，1，则a5，P(2X4)P(X3)P(X4).【答案】C【知识要点】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个_确定的数字_来表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等来表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定_顺序_一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xi，xn，而每一个值的概率为P(Xxi)_pi_(i1，2，n)则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量X的概率分布列(4)分布列的两个性质_0_pi1，i1，2，n.p1p2pn_1_2两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq(其中0p1)，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的_两点分布列_3超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件Xk发生的概率为P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称此分布列：X01mP为超几何分布列4离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量的分布列为：x1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E_x1p1x2p2xnpn_为随机变量的均值或_数学期望_，它反映了离散型随机变量取值的_平均水平_(2)方差：称D(xiE)2pi为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值E的平均_偏离程度_，其_算术平方根_为随机变量的标准差5均值与方差的性质(1)E(ab)_aEb_(2)D(ab)_a2D_6基本性质若服从两点分布，则E_p_，D_p(1p)_，若X服从二项分布，即B(n，p)，则E_np_，D_np(1p)_典例剖析【p109】考点1离散型随机变量分布列的性质(1)设离散型随机变量X的分布列为：X101P12qq2则q()A.B1C1D1【解析】由题意得12qq21，12q(0，1)，q2(0，1)q1 .【答案】B(2)已知随机变量的概率分布如下：12345678910Pm则P(10)等于()A. B310 C. D.【解析】1，所以P(10)1.【答案】C【点评】应用离散型随机变量分布列性质的1个注意点：利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数考点2求离散型随机变量的分布列、均值与方差某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时？Y的数学期望达到最大值？【解析】(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，由表格数据知，P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此EY2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，10的十个小球活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金(1)求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【解析】(1)甲抽奖一次，基本事件总数为C120，奖金的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(240)，三球连号的情况有1，2，3；2，3，4；8，9，10共8种，所以P(60)，仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；8，9各有6种得奖金30的概率为P(30)，奖金为0的概率为P(0)1，的分布列为：03060240PE0306024020.(2)由(1)可得乙一次抽中奖的概率为P1，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数B，故D4.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式【解析】(1)由题意可知X23，4，5.当X23时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X23)；当X24时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X24)；当X25时，即两次摸球均摸到白球的概率是P(X25).所以随机变量X2的概率分布如下表：X2345P(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望E(X2)345.(2)设P(Xn3k)pk，k0，1，2，3，4，5.则p0p1p2p3p4p51，E(Xn)3p04p15p26p37p48p5.P(Xn13)p0，P(Xn14)p0p1，P(Xn15)p1p2，P(Xn16)p2p3，P(Xn17)p3p4，P(Xn18)p4p5.所以E(Xn1)3p045678p0p1p2p3p4p5(3p04p15p26p37p48p5)p0p1p2p3p4p5E(Xn)1.由此可知，E(Xn1)8E(Xn)8又E(X1)8，所以E(Xn)8.【点评】1.离散型随机变量分布列求法的3个步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i1，2，3，n)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确2求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识考点3超几何分布为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列【解析】(1)由已知，有P(A).所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(Xk)(k1，2，3，4)所以随机变量X的分布列为X1234P【点评】超几何分布的2个特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型超几何分布的特征是：(1)样本空间的N个元素可分为两类元素，其中一类元素共M个(MN)；(2)从N个元素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素的个数方法总结【p110】1关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出的所有可能取值(2)用随机事件概率的计算方法，求出取各个值的概率(3)利用(1)(2)的结果写出的分布列2常见的特殊离散型随机变量的分布列(1)两点分布它的分布列为10pq，其中0p1，且pq1；(2)二项分布它的分布列为012pnp0p1p2pkpn其中pkCpkqnk，k0，1，2，n，且0p1，pq1，pkCpkqnk可记为b(k；n，p)3对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述取值的平均状态(3)Ex1p1x2p2xnpn直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4对离散型随机变量的方差应注意：(1)D表示随机变量对E的平均偏离程度，D越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D越小，的取值越集中，在E附近，统计中常用来描述的分散程度(2)D与E一样也是一个实数，由的分布列唯一确定走进高考【p111】1(2018浙江)设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0，1)内增大时()AD()减小BD()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小【解析】由题可得E()p，所以D()p2p，所以当p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小【答案】D2(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验考点集训【p234】A组题1抛掷一枚硬币，记X则E(X)()A0 B.C1 D1【解析】E(X)1(1)0 .【答案】A2在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)【解析】X服从超几何分布，故P(Xk)，k4.【答案】C3离散型随机变量X的分布列为P(Xk)pkq1k(k0，1，pq1)，则E(X)与D(X)依次为()A0和1 Bp和p2Cp和1pDp和p(1p)【解析】由题意，离散型随机变量XB(1，p) ，根据二项分布的期望与方差公式可得E(X)1pp，D(X)1p(1p)p(1p) .【答案】D4抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球为不中奖有90人依次进行有放回的抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是()A6，0.4 B18，14.4C30，10 D30，20【解析】由题可得中奖概率为，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为9030，方差为9020.【答案】D5已知随机变量X的分布列如下，若E(X)3，则D(X)_.X1234Pn0.20.3m【解析】根据题意，得解得D(X)(13)20.1(23)20.2(33)20.3(43)20.41.【答案】16设随机变量的分布列为P(k)(k1，2，3)，其中c为常数，则E_【解析】随机变量的概率分布列为P(k)(k1，2，3)，c1，c，E.【答案】7甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数，的分布列分别为678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17(1)分别求两名选手射击环数的期望；(2)某比赛需从甲乙二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？【解析】(1)E()60.1670.1480.4290.1100.188，E()60.1970.2480.1290.28100.178.(2)D()(68)20.16(78)20.14(88)20.42(98)20.1(108)20.181.6，D()(68)20.19(78)20.24(88)20.12(98)20.28(108)20.171.96.因为D()D()，所以甲更稳定，甲参赛获胜可能性更大一些8某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中2道题的便可提交通过已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则的取值分别为1、2、3，的取值分别，0、1、2、3，P(1)，P(2)，P(3).所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：123PE()1232，因为B，所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：0123PE()01232.(2)因为P(2)，P(2)，所以P(2)P(2)，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强B组题1一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.B.C.D.【解析】设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)3a2b22，所以ab，当且仅当3a2b，即a，b时，等号成立即ab的最大值为.【答案】D2一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，下列概率等于的