2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理（含解析）新人教A版.docx

第6讲双曲线基础知识整合1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,c2a2b2(ca0，cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)双曲线的离心率公式可表示为e.1(2018浙江高考)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)答案B解析因为双曲线方程为y21，所以焦点坐标可设为(c,0)，因为c2a2b2314，c2，所以焦点坐标为(2,0)，选B.2(2019宁夏模拟)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1 B17C1或17 D以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B.3(2019湖北模拟)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为yx，点(3，4)在渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e.故选D.4已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析点P(2,1)在曲线C的渐近线yx上，1，a2b.又5，即4b2b225，b25，a220，故选A.5(2018北京高考)若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.答案4解析在双曲线中，c，且e，a216，a0，a4.6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.答案12解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为yx，又一条渐近线为2xy0，即y2x，2，即b2a.又该双曲线的一个焦点为(，0)，c.由a2b2c2可得a2(2a)25，解得a1，b2.核心考向突破考向一双曲线的定义例1(1)(2019山西模拟)已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为2x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2，则|PF2|()A4 B6 C8 D10答案C解析由题意得，解得a3.因为|PF1|2，所以点P在双曲线的左支上所以|PF2|PF1|2a，解得|PF2|8.故选C.(2)(2019河南濮阳模拟)已知双曲线x2y24，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是()A4 B6C8 D16答案C解析设双曲线的右焦点为F2，|F1P1|2a|F2P1|，|F1P2|2a|F2P2|，|F1P1|F1P2|P1P2|2a|F2P1|2a|F2P2|P1P2|8(|F2P1|F2P2|P1P2|)8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是8.故选C.触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.即时训练1.虚轴长为2，离心率e3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则ABF2的周长为()A3 B16C12 D24答案B解析由于2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B.2已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_答案9解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为9.考向二双曲线的标准方程例2(1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案B解析由题意可得，即ca.又左焦点F(c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为，化简即得yx4. 结合已知条件和图象易知直线PF与yx平行，则，即4abc.故解得故双曲线方程为1.故选B.触类旁通即时训练3.(2019西安模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y2x，故2；在直线y2x10中，令y0，故x5，所以a2b225.联立，解得a25，b220.4(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则xAxBc，由1可得，y，不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为bxay0，据此可得，d1，d2，则d1d22b6，则b3，b29，双曲线的离心率e2，据此可得，a23，则双曲线的方程为1.考向三双曲线的几何性质角度双曲线离心率问题例3(1)(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_答案2解析因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线yx，即bxay0的距离为b，所以bc，因此a2c2b2c2c2c2，ac，e2.(2)(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2，或e(舍去)触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练5.双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2x轴，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案B解析如图所示，在RtMF1F2中，MF1F230，F1F22c，MF1c，MF22ctan30c，2aMF1MF2ccce.6已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1，) D(1,1)答案D解析依题意，0AF2F1，故0tanAF2F11，则1，即e2，e22e10，(e1)22，所以1e0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案A解析e，e21312，.因为该双曲线的渐近线方程为yx，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A.(2)(2019深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为()A. B. C. D2答案A解析依题意设双曲线的方程是1(其中a0，b0)，则其渐近线方程是yx，由题知，即b2a，因此其离心率e.触类旁通即时训练7.(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2 C. D2答案D解析因为e，所以1，所以双曲线的渐近线方程为xy0，所以点(4,0)到渐近线的距离d2.故选D.8(2019河北武邑中学模拟)过双曲线1(a0，b0)的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设A(x0，y0)，由题意，得x0c，代入渐近线方程yx中，得y0，即A，同理可得B，则c.整理，得，即双曲线的离心率为.故选D.考向四直线与双曲线的位置关系例5已知双曲线：1(a0，b0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值解(1)双曲线1过点(2,1)，1.不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bxay0的距离db，b1，a22，所求双曲线的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxm.将ykxm代入x22y22中，整理得(2k21)x24kmx2m220.x1x2，x1x2.0，(x12，y11)(x22，y21)0，(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)0，(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)m22m50.将代入，得m28km12k22m30，(m2k1)(m6k3)0.而PAB，m6k3，从而直线AB的方程为ykx6k3.将ykx6k3代入x22y220中，判别式8(34k236k10)0恒成立，ykx6k3即为所求直线P到AB的距离d.212.d4，即点P到直线AB距离的最大值为4.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.即时训练9.设双曲线C：y21(a0)