第2章例题_质点动力学.ppt

例2-1 在倾角30的光滑斜面（固定于水平地面）上有两物体通过滑轮相连，已知m1=3kg ，m2 =2kg ，且滑轮和绳子质量可略试求每一物体的加速度a 及绳子的张力FT （重力加速度g 取9.80m s-2 ） ,解方程组得,解,例2-2将质量分别为m1 ，m2，m3 和m 的四个物体连接，桌面与这些物体之间的摩擦系数都是 . 设桌子与滑轮位置不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不计求该系统的加速度以及各物体之间的张力FT1 、FT2 、FT3 ,解方程组得,解：若先求加速度，可将m1 、m2 、m3 视为一整体,并设FN 为三物体共同 对桌面的总压力,解：若求FT以m 为研究对象,若求FT ，以m 为研究对象,例2-3 质量为M 的斜面装置,可在水平面上做无摩擦的滑动, 斜面倾角为 , 斜面上放一质量为m 的木块,也可做无摩擦的滑动. 现要保证木块m 相对于斜面静止不动, 问对M 需作用的水平力F0 有多大？ 此时m 与M 间的正压力为多大？ M 与水平面间的正压力为多大？,解：m 相对M 静止，则m 与M 应有相同的加速度,用隔离体法分别画出M与 m的示力图,牛顿运动定律列出方程,解：,对于M,x方向,y方向,对于m,x方向,y方向,解得,解：小球在水平面内运动，则作用在小球上的张力FT 和重力mg 均在竖直平面内，,例2-4 这是一个圆锥摆摆长为 ,小球质量为m , 欲使小球在锥顶角为 的圆周内做匀速圆周运动，给予小球的速率 应为多大？ 此时绳子的张力FT 有多大？,设某一任意时刻, 在FT 和mg 所在平面内将力进行分解,小球在竖直方向没有运动,水平方向的分力恰好是小球做圆周运动的向心力,解得,解：取竖直向下为正方向,例2-5 一质量为m 的物体在流体中下落,物体所受到的黏滞阻力与物体运动速率成正比,即 .设物体受到的浮力为F,求该物体在下落过程中下落速率 和时间t 的关系式，以及终极速率 t （设t =0 时, = 0）,解得,解：t 时刻 m , t +t 时刻 m +m ，车厢速率不变,例2-6 一辆运沙车以2m s-1 的速率从卸沙漏斗正下方驶过，沙子落入运沙车厢的速率为400kg s-1 要使车厢速率保持不变，需要多大的牵引力拉车厢？（设车厢和地面钢轨的摩擦力可略）,水平方向上动量增量为,根据动量定理,即,解：根据动量定理微分形式,例2-7 一质量为1kg 的质点在变力F =6 t (N )作用下沿x 轴运动，设t =0 时，质点速率 0= 2m s-1 ，质点位x0=0 m ，试求质点在1s 末的速率和坐标位置,又由,得,解：水平方向不受力,动量守恒,例2-8 一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M 的平板车上站着两个人,设人的质量均为m ,试求他们从车上沿同方向以相对于平板车水平速率u 同时跳下和依次跳下时平板车的速率大小,(1)两个人同时跳下,取两人和平板车为一个系统,设两人跳下后平板车的速率为 , 人相对地的速率为,(2)两个人依次跳下,先取两人和平板车为一个系统，,设第一个人跳下后平板车的速率为 1,第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统，,设第二个人跳下后平板车的速率为 2,解：水平方向动量守恒,例2-9 一炮弹以速率 0沿仰角 的方向发射出去后,在达到最高点处爆炸为质量相等的两块,一块以45仰角向上飞,一块以30的俯角向下冲,求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多大（炮弹飞行时的空气阻力不计） ?,得,在爆炸的瞬间，炮弹受的重力相对于爆炸内力可忽略,竖直方向动量近似守恒,解：沿y 方向的位移始终为零,例2-10 质点M 在力F 作用下沿坐标轴ox 运动,力F 的大 小和方向角 随x 变化的规律分别为F = 3x ,cos=0.8-0.2x ,其中F 的单位为N , x 、y 的单位为m .试求质点从x1=2m处运动到x2=3m 处的过程中,力F所做的功,解：取绳自然下垂时B 端为坐标原点，,例2-11 一条长为 、质量为M 的匀质软绳, 其A 端挂在屋顶的钩子上, 自然下垂. 再将B 端沿竖直方向提高到与A 端 同一高度处, 求该过程中重力所作的功,重力在位移元dy 上做的元功为,绳提起部分所受重力为,总功为,B 端为坐标为y 时,由动能定理,例2-12一个质量为m 的小球系在轻绳的一端, 绳的另一端固定在O点, 绳长为 .若先拉动小球使绳保持水平静止, 然后松手使小球下落. 求当绳与水平夹角为 时小球的速率,解：小球从A 落到B 的过程中， 合外力 对它做的功为,(2) 由动能定理,例2-13 一质量为10kg 的物体沿x 轴无摩擦地滑动,t =0 时物体静止于原点. (1) 若物体在力F =3 + 4 t（ N）的作用下运动了3 s , 它的速率增为多大? (2) 物体在力F =3+ 4x（ N）的作用下移动了3m , 它的速率增为多大？,得,解: (1) 由动量定理,例2-14 一轻绳跨过一个定滑轮, 两端分别拴有质量为m 及M 的物体, M 离地面的高度为h , 若滑轮质量及摩擦力不计, m 与桌面的摩擦也不计, 开始时两物体均为静止, 求M 落到地面时的速率 (m 始终在桌面上). 若物体m 与桌面的静摩擦系数与动摩擦系数均为, 结果如何？,(2)物体m 与桌面有摩擦, 根据功能原理,解: (1)以m 和M 及地球作为系统,系统的机械能守恒,例2-15 一劲度系数为k 的弹簧上端固定, 下端挂一质量为m 的物体. 先用手托住，使弹簧保持原长 . 设x 轴向下为正, 取弹簧原长处为坐标原点O. (1) 若将物体托住而缓慢放下, 达静止时, 弹簧的最大伸长量x1 是多少？(2)若将物体突然放手, 物体到达最低位置时, 弹簧的伸长x2 是多少？,解: 取物体、弹簧和地球为系统,(1) 缓慢放下，物体在整个下落过程中，可以近似认为是受力平衡的到达平衡位置时静止,(2) 若突然放手, 系统在物体下落的过程中外力做功和非保守内力做功都为零, 系统机械能守恒,例2-16 要使飞船脱离地球的引力范围, 求从地面发射该飞船的速度最小值（第二宇宙速度）为多大？,解: 选飞船和地球为研究对象, 系统机械能应守恒,飞船刚离开地面时的速度 ，飞船远离地球时的速度,选取无限远处为万有引力势能的零点,当飞船离地球越来越远时，引力势能 0 ，取 0,速度最小值,例2-17 试利用角动量守恒定律证明关于行星运动的开普勒 第二定律：在太阳系中一行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过的面积相等即掠面速度不变,解:任一行星在太阳(位于o 点)的 万有引力场中做椭圆轨道运动 行星对太阳的角动量守恒,路程,扫过的面积为,行星的掠面速度为,解:击中瞬时, 沿 0 方向动量守恒，,例2-18 在光滑的水平桌面上, 放着质量为M 的木块, 木块与一弹簧相连, 弹簧的另一端固定在O 点, 弹簧的劲度系数为k , 设有一质量为m 的子弹以初速度 0 垂直于O A 射向M 并嵌入木块内, 弹簧原长为 ,子弹击中木块, 木块M 运动到B 点时刻, 弹簧长度变为 , 此时OB 垂直于O A , 求在B 点时, 木块的运动速度 2 ,A 到B, 系统机械能守恒,木块对O 的角动量