北京十三中分校2016届九年级上期中数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1抛物线y=（x1）2+2的对称轴是（）A直线x=1B直线x=1C直线x=2D直线x=22若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3如图，在ABC中，DEBC，AD：AB=1：3，若ADE的面积等于4，则ABC的面积等于（）A12B16C24D364如图，在44的正方形网格中，tan的值等于（）ABCD5如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把ABC缩小得到DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A（4，2）B（4，4）C（4，5）D（5，4）6为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（）ABC，ACBBDE，DC，BCCEF，DE，BDDCD，ACB，ADB7将抛物线y=2x2+1绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（）Ay=2x2By=2x2+1Cy=2x21Dy=2x218图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x29二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x210123y503430当函数值y0时，x的取值范围是（）A2x0B1x0C1x3D0x210如图，正ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）ABCD二、填空题（每小题3分，共18分）11已知ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，则SABC与SA1B1C1之比为12在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，则cosA=13点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x24x1的图象上，若当1x12，3x24时，则y1与y2的大小关系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）14二次函数y=m2x2+（2m+1）x+1的图象与x轴有两个交点，则m取值范围是15在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，ADBC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”你同意的观点，理由是16如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x22x图象位于x轴上方的部分记作F1，与x轴交于点P1和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；这样依次得到F1，F2，F3，Fn，则其中F1的顶点坐标为，F8的顶点坐标为，Fn的顶点坐标为（n为正整数，用含n的代数式表示）三、解答题（本题共72分，第17-21题，每小题6分，第22-25题，每小题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）17计算：3tan30+2cos45sin602sin3018已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（3，0）、（1，0）、（0，3）三点，（1）求：二次函数的表达式；（2）求：二次函数的对称轴、顶点坐标，并画出此二次函数的图象19如图，ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F（1）求证：EBCCDF；（2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的长20已知：如图，在ABC中，CDAB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的长和tanB的值21如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？22如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由23如图，在四边形ABCD中，C=60，B=D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的长24在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换得到点P（x，y），该变换记作（x，y）=（x，y），其中（a，b为常数）例如，当a=1，且b=1时，（2，3）=（1，5）（1）当a=1，且b=2时，（0，1）=；（2）若（1，2）=（0，2），则a=，b=；（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换得到点P（x，y）若点P与点P重合，求a和b的值25动手操作：小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；点M为线段AB的二等分点解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；（2）点P是AOB内部一点，过点P作PMOA于M，PNOB于N，请找出一个满足下列条件的点P（可以利用图1中的等距平行线） 在图3中作出点P，使得PM=PN；在图4中作出点P，使得PM=2PN26小东同学在学习了二次函数图象以后，自己提出了这样一个问题：探究：函数的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了如下探究：下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值x210234ym则m的值是；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）小东进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：27如图1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，点E是BC边上一点，DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q（1）如图2，若点E为BC中点，将DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点探究：在DEF运动过程中，AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由28已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性AMB恒为等腰三角形，我们规定：当AMB为直角三角形时，就称AMB为该抛物线的“完美三角形”（1）如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n5的最大值为1，求m，n的值2015-2016学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1抛物线y=（x1）2+2的对称轴是（）A直线x=1B直线x=1C直线x=2D直线x=2【考点】二次函数的性质【分析】由抛物线的顶点式y=（xh）2+k直接看出对称轴是x=h【解答】解：抛物线的顶点式为y=（x1）2+2，对称轴是x=1故选B【点评】要求熟练掌握抛物线解析式的各种形式的运用2若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【考点】二次函数图象与几何变换【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，向下平移1个单位，新抛物线的顶点坐标是（2，1）故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键3（2015秋北京校级期中）如图，在ABC中，DEBC，AD：AB=1：3，若ADE的面积等于4，则ABC的面积等于（）A12B16C24D36【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由条件证明ADEABC，且相似比为，再利用相似三角形的性质可求得ABC的面积【解答】解：DEBC，ADEABC，=（）2=（）2=，SADE=2，=，解得SABC=36故选D【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键4如图，在44的正方形网格中，tan的值等于（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义【专题】网格型【分析】直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：ADBC，AD=3，BD=2，tan=故选C【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键5如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把ABC缩小得到DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A（4，2）B（4，4）C（4，5）D（5，4）【考点】位似变换【专题】数形结合【分析】根据两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标【解答】解：DEFABC，且F点在CP的连线上，可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）故选B【点评】本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心6为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（）ABC，ACBBDE，DC，BCCEF，DE，BDDCD，ACB，ADB【考点】相似三角形的应用【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可所以借助于相似三角形的性质，根据即可解答【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，A、因为知道ACB和BC的长，所以可利用ACB的正切来求AB的长；B、无法求出A，B间距离C、因为ABDEFD，可利用，求出AB；D、可利用ACB和ADB的正切求出AB；据所测数据不能求出A，B间距离的是选项B；故选：B【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用；将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键7将抛物线y=2x2+1绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（）Ay=2x2By=2x2+1Cy=2x21Dy=2x21【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求解则可【解答】解：根据题意，可得y=2（x）2+1，得到y=2x21故旋转后的抛物线解析式是y=2x21故选D【点评】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式8图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x2【考点】根据实际问题列二次函数关系式【专题】压轴题【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a0；那么（2，2）应在此函数解析式上则2=4a即得a=，那么y=x2故选：C【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点9二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x210123y503430当函数值y0时，x的取值范围是（）A2x0B1x0C1x3D0x2【考点】二次函数的性质【分析】根据图表可以得出二次函数的顶点坐标为（1，4），图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），且图象开口向上，结合图象可以得出函数值y0时，x的取值范围【解答】解：根据图表可以得出二次函数的顶点坐标为（1，4），图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），如右图所示：当函数值y0时，x的取值范围是：1x3故选C【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围数形结合是这部分考查重点，同学们应熟练掌握10如图，正ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）ABCD【考点】动点问题的函数图象【专题】压轴题【分析】需要分类讨论：当0x3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象当3x6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6x）2=（x6）2（3x6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象【解答】解：正ABC的边长为3cm，A=B=C=60，AC=3cm当0x3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0x3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x23x+9（0x3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CDAB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5x|cm，y=PC2=（）2+（1.5x）2=x23x+9（0x3）该函数图象是开口向上的抛物线；当3x6时，即点P在线段BC上时，PC=（6x）cm（3x6）；则y=（6x）2=（x6）2（3x6），该函数的图象是在3x6上的抛物线；故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选二、填空题（每小题3分，共18分）11已知ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，则SABC与SA1B1C1之比为4：9【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案【解答】解：ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比12（2007眉山）在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，则cosA=【考点】锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】根据BC：AC=3：4，设BC：AC的长，再根据勾股定理及直角三角形中锐角三角函数的定义求解【解答】解：RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，设BC=3x，则AC=4x，AB=5x，cosA=【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单13点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x24x1的图象上，若当1x12，3x24时，则y1与y2的大小关系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小【解答】解：由二次函数y=x24x1=（x2）25可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，1x12，3x24，A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，y1y2故答案为：【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键14二次函数y=m2x2+（2m+1）x+1的图象与x轴有两个交点，则m取值范围是m且m0【考点】抛物线与x轴的交点【专题】二次函数图象及其性质【分析】题目考查二次函数图象与x轴的交点个数与二次函数系数之间的关系，当图象与x轴有两个交点时，0，当图象与x轴有一个交点时，=0，当图象与x轴没有交点时，0，同时不要遗漏二次函数二次项系数不为零【解答】解：二次函数y=m2x2+（2m+1）x+1的图象与x轴有两个交点，0即b24ac0代入得：（2m+1）24m210解得：m二次函数二次项系数大于零，m20m0综上所述：【点评】题目考查二次函数定义及二次函数图象与x轴交点个数与的关系，在计算0取值范围后，不要忘记二次函数不为零的前提题目较简单15在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，ADBC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”你同意小明的观点，理由是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【考点】平行四边形的判定【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得小明正确【解答】解：四边形ABCD 中，ADBC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，应添加AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此小明说的对；小红添加的条件，也可能是等腰梯形，因此小红错误，故答案为：小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理16如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x22x图象位于x轴上方的部分记作F1，与x轴交于点P1和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；这样依次得到F1，F2，F3，Fn，则其中F1的顶点坐标为（1，1），F8的顶点坐标为（13，1），Fn的顶点坐标为2n3，（1）n+1（n为正整数，用含n的代数式表示）【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据抛物线的解析式来求F1的顶点坐标；根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和1即可得出结论【解答】解：y=x22x=（x+1）2+1，F1的顶点坐标为 （1，1）又y=x22x=x（x+2），P1（2，0），根据函数的对称性得到：F2的顶点坐标为（1，1），P2（2，0），F3的顶点坐标为（3，1），P3（4，0），F8的顶点坐标为（13，1），Fn的顶点坐标为2n3，（1）n+1故答案是：（1，1）；（13，1）；2n3，（1）n+1【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换解题的关键是找到Fn的顶点坐标变换规律三、解答题（本题共72分，第17-21题，每小题6分，第22-25题，每小题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）17计算：3tan30+2cos45sin602sin30【考点】特殊角的三角函数值【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：原式=3+22=+1【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值18（2015秋北京校级期中）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（3，0）、（1，0）、（0，3）三点，（1）求：二次函数的表达式；（2）求：二次函数的对称轴、顶点坐标，并画出此二次函数的图象【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质【专题】计算题【分析】（1）设交点式二次函数解析式为：y=a（x1）（x+3），然后把（0，3）代入求出a即可；（2）把（1）中解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质得到二次函数的对称轴、顶点坐标，然后利用描点法画函数图象【解答】解：（1）二次函数的图象经过（3，0）、（1，0）两点设二次函数解析式为：y=a（x1）（x+3）又图象经过（0，3）点，3=a（01）（0+3）解得a=1二次函数解析式为：y=x2+2x3；（2）y=x2+2x3=（x+1）24，二次函数图象的对称轴为直线x=1；顶点坐标为：（1，4）；如图，【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的图象19如图，ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F（1）求证：EBCCDF；（2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的长【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】（1）利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行可得B=D和FCD=E，有两对角相等的三角形相似可判定EBCCDF；（2）有（1）可知：EBCCDF，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，ABCD，FCD=E，EBCCDF；（2）解：EAFEBC，即解得：AF=2【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，难度不大，属于基础性题目20已知：如图，在ABC中，CDAB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的长和tanB的值【考点】解直角三角形；锐角三角函数的定义【分析】由sinA=，CD=12，根据三角函数可得AC=15，根据勾股定理可得AD=9，则BD=4，再根据正切的定义求出tanB的值【解答】解：CDAB，CDA=90（1分）sinA=AC=15（2分）AD=9BD=4（4分）tanB=【点评】考查了解直角三角形和锐角三角函数的定义，要熟练掌握好边角之间的关系21如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？【考点】二次函数的应用【专题】应用题【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式（2）计算出本问可用两种方法求得，求x=3米时求出水面求出此时y的值，A、B点的横坐标减去y此时的值到正常水面AB的距离与3.6相比较即可得出答案【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=102a=100a，n+3=52a=25a，即，解得，；（2）货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，当x=3时，（4）3.6在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥【点评】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值22如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）首先作PCAB于C，利用CPA=9045=45，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB50，即可得出答案【解答】解：（1）作PCAB于C（如图）在RtPAC中，PCA=90，CPA=9045=45在RtPCB中，PCB=90，PBC=30答：B处距离灯塔P有海里（2）海轮到达B处没有触礁的危险理由如下：，而，OB50B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键23如图，在四边形ABCD中，C=60，B=D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的长【考点】解直角三角形【分析】延长DA、CB交于点E，解直角三角形求出DE、EC，求出E=30，解直角三角形求出EB，即可求出答案【解答】解：延长DA、CB交于点E，在RtCDE中，tanC=，cosC=，DE=3，EC=6，AD=2AB设AB=k，则AD=2k，C=60，B=D=90，E=30，在RtABE中，sinE=tanE=，AE=2AB=2k，EB=AB=k，DE=4k=3，解得：k=，EB=，BC=6=【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要考查学生进行计算的能力，是一道比较好的题目，关键是构造直角三角形24在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换得到点P（x，y），该变换记作（x，y）=（x，y），其中（a，b为常数）例如，当a=1，且b=1时，（2，3）=（1，5）（1）当a=1，且b=2时，（0，1）=（2，2）；（2）若（1，2）=（0，2），则a=1，b=；（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换得到点P（x，y）若点P与点P重合，求a和b的值【考点】一次函数综合题【分析】（1）将a=1，b=2，（0，1），代入，可求x，y的值，从而求解；（2）将（1，2）=（0，2），代入，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解；（3）由点P（x，y）经过变换得到的对应点P（x，y）与点P重合，可得（x，y）=（x，y）根据点P（x，y）在直线y=2x上，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解【解答】解：（1）当a=1，且b=2时，x=10+（2）1=2，y=10（2）1=2，则（0，1）=（2，2）； （2）（1，2）=（0，2），解得a=1，b=； （3）点P（x，y）经过变换得到的对应点P（x，y）与点P重合，（x，y）=（x，y）点P（x，y）在直线y=2x上，（x，2x）=（x，2x），即x为任意的实数，解得，故答案为：（2，2）；1，【点评】考查了一次函数综合题，关键是对题意的理解能力，具有较强的代数变换能力，要求学生熟练掌握解二元一次方程组25（2015秋北京校级期中）动手操作：小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；点M为线段AB的二等分点解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；（2）点P是AOB内部一点，过点P作PMOA于M，PNOB于N，请找出一个满足下列条件的点P（可以利用图1中的等距平行线） 在图3中作出点P，使得PM=PN；在图4中作出点P，使得PM=2PN【考点】作图应用与设计作图【分析】（1）作法：在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交b于点D，交d于点E，交c于点F；以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点P1，再以点B为圆心，CE长为半径画弧交AB于点P2；则点P1、P2为线段AB的三等分点；（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一点C，以点C为圆心，MN长为半径画弧交b于点D，交c于点E；以点M为圆心，CE长为半径画弧交MN于点P；则P点为所求； 以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一点C，以点C为圆心，MN长为半径画弧交a于点D，交c于点E，交b于点F；以点M为圆心，CF长为半径画弧交MN于点P；则P点为所求【解答】解：（1）如下图所示，点P1、P2为线段AB的三等分点；（2）如下图所示，点P即为所求；如下图所示，点P即为所求【点评】本题考查了作图应用与设计作图，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，理解等距平行线的含义及平行线分线段成比例定理是解题的关键26小东同学在学习了二次函数图象以后，自己提出了这样一个问题：探究：函数的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了如下探究：下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是x1；（2）下表是y与x的几组对应值x210234ym则m的值是；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）小东进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：当x1时，y随x的增大而减小【考点】二次函数综合题【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质【解答】解：（1）由知，x10，即x1，所以变量x的取值范围是x1故答案是：x1；（2）把x=4代入得到：m=，即m的值是故答案是：；（3）如图：；（4）该函数的其他性质：当x1时，y随x的增大而减小；当1x2时，y随x的增大而减小等故答案是：当x1时，y随x的增大而减小【点评】本题综合考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键27如图1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，点E是BC边上一点，DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q（1）如图2，若点E为BC中点，将DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点探究：在DEF运动过程中，AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由【考点】相似形综合题【分析】（1）根据条件由勾股定理可以求出BC的值，再求出DEB=EQC，就可以得出BPECEQ，由相似三角形的性质就可以得出结论；（2）由AEF=B=C，且AQEC可以得出AQEAEF从而有AEAQ，再分类讨论，当AE=EQ时和AQ=EQ时根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质就可以求出BE的值【解答】解：（1）BAC=90，AB=AC=2，B=C，又FEB=FED+DEB=EQC+C，DEF=C，DEB=EQC，BPECEQ，设BP为x，CQ为y，自变量x的取值范围是0x1；（2）AEF=B=C，且AQEC，AQEAEFAEAQ当AE=EQ时，EAQ=EQA，AEQ=45，EAQ=EQA=67.5，BAC=90，C=45，BAE=QEC=22.5在ABE和ECQ中，ABEECQ（AAS）CE=AB=2BE=BCEC=；当AQ=EQ时，可知QAE=QEA=45，