2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第三节 三角函数的图象与性质(Ⅰ).ppt

第三节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 周期函数 (1)周期函数的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数t,使得定义域内的每一个x值，都满足 f(x+t)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个 最小的正数，那么这个 最小的正数 就叫做f(x)的 最小正周期.,2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,y|-1y1,y|-1y1,典例分析,题型一 三角函数的定义域,【例1】 求函数y= +lg(2sinx-1)的定义域.,分析 (1)需注意对数的真数大于零，然后利用正、余弦函数的图象求解.（2）需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解.,解 由题意,得 解得 即 kz.,学后反思 求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.本题中因为y=sinx,y=cosx的周期都是2k,所以先在区间0,2)内求出交集3,56后，再加上2k.,举一反三,1. 求下列函数的定义域： (1)y=lgsin(cos x);(2)y= .,解析： （1）要使函数有意义， 必须使sin(cos x)0. -1cos x1,0cos x1. 利用余弦函数的简图得知定义域为,（2）要使函数有意义，必须使sin x-cos x0. 方法一：利用图象，在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示. 在0,2内，满足sin x=cos x的x为 ,再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为 . 方法二：sin x-cos x= 0, 将 视为一个整体，由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kx-42k,解得 .所以定义域为 .,题型二 三角函数的单调性 【例2】求 的单调区间. 分析 先化为 ,再求单调区间. 解 单调递增, 在 上单调递减.,由,学后反思 对于y=atan(x+)(a、为常数),单调区间利用 解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=(x)，其单调性判定方法是：若y=f(v)和v=(x)同为增（减）函数时，y=f (x) 为增函数；若y=f(v)和v=(x)一增一减时，y=f (x) 为减函数.,举一反三 2. 求函数 的单调区间.,解析： 由已知函数为y= ，欲求函数的 单调递减区间，只需求y= 的单调递增区间.,题型三 三角函数的奇偶性 【例3】若函数f(x)=sin(2x+)是偶函数，则的值为_. 分析 由题意“f(x)=sin（2x+)是偶函数”知,可利用诱导公式将sin(2x+)化成cos 2x的形式,因为cos 2x是偶函数,所以=k+ (kz).,由 (kz), 解得 (kz). 原函数的单调递减区间为 (kz).,解 因为cos 2x是偶函数,则当f(x)=sin(2x+)=cos 2x时,f(x)为偶函数,此时=k+ (kz). 学后反思 (1)由此题可得到一个一般性结论，函数f(x)=sin(x+)若为奇函数，则=k;若为偶函数，则=k+2.函数f(x)=cos(x+)若为奇函数，则=k+2; 若为偶函数，则=k,其中k为整数. (2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再判断f(-x)与f(x)的关系.,3. 已知函数f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，求常数的值.,举一反三,解析： 依题意，f(-x)=f(x)恒成立. sin(-x+)+ cos(-x-)=sin(x+)+ cos(x-), 即sin(-x+)-sin(x+)= cos(x-)- cos(-x-). 2cos sin x+2 sin xsin =0对任意x恒成立， cos + sin =0,tan = , =k- (kz).,题型四 三角函数的最值,【例4】(14分)求y= -cos x+2的最值.,分析 解析式中有 ,cos x,可以考虑转化为关于cos x的二次函数形式.,解 y= -cos x+2=1- -cos x+2 2 =- -cos x+3= .6,-1cos x1,8 且-1- 0,12 1y .14,学后反思 此例题中函数形式的特点是可以转化为关于sin x或cos x的一元二次函数的形式，利用配方法求最值，也可以利用换元法.另外也可以把函数化成y=asin(x+)或y=acos(x+)的形式，利用正、余弦函数的有界性来求最值也是一种常用方法.,举一反三 4. 求y=sin2x-sin xcos x+2的值域. 解析：,【例】已知sin x+sin y= ,求sin y-cos2x的最大值. 错解 由已知得sin y= -sin x, 故sin y-cos2x=sin2x-sin x- (-1sin x1). 令t=sin x,故有f(t)=t2-t- (-1t1), 配方得,当t= -1时，原式取得最大值,易错警示,错解分析 上述错解极为普遍，虽然考生注意到了换元前后的等价性（但有考生易忽视已知中约束条件也是解答过程中易错的一个方面），却忽视了已知等式sin x+sin y= 中两个变量是相互约束的，即由于-1sin y1,故sin x必需满足 -1 -sin x1这个约束条件.在遇到上述情况时，考生一定要特别警惕，注意两个变元间的相互约束条件. 正解 由已知条件,有sin y= -sin x且sin y= sin x -1,1 （结合sin y,sin x -1,1 ）,得 sin x1,而 sin y-cos2x= -sin x-cos2x=sin2x-sin x , 令t=sin x( t1),则原式=t2-t ( t1),根据二次函数配方得：当t= ,即sin x= 时，原式取得最大值,考点演练,10. （2009全国改编） 如果函数y=3cos(2x+)的图象关于 中心对称，求|的最小值. 解析：由题意得 则 取k=0,得|的最小值为,11. 已知函数f(x)=asin xcos x+b ,且f(0)=2,f（ ）=3. （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的最大值、最小值及取得最大值、最小值时的x值.,解析：（1）由f(0)=2,得b=2,由f（ ）=3,得 =3,即a= . f(x)= sin xcos x+2 = sin 2x+cos 2x+1 =2sin +1,t= =. (2)当2x+ =2k+ ,即x=k+ ,kz时，f(x)max=3; 当2x+ =2k- ，即x=k- ,kz时，f(x)min=-1.,12. （2009山东）设函数f(x)= (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）设a，b，c为abc的三个内角，若cos b= , ,且c为锐角，求sin a.,解析： （1）f(x)=cos 2xcos -sin 2xsin + = . 所以,当2x=- +2k,即x=- +k(kz)时, f(x)取得最大值，f(x)最大值= , f(x)的最小正周期t= =, 故函数f(x)的最大值为 ，最小正周期为.,(2)由 ,即 ,解得sin c= . 又因为c为锐角，所以c= . 由cos b= ,求得sin b= . 因此,sin a=sin-(b+c)=sin(b+c) =sin bcos c+cos bsin c= .,第四节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 作y=asin(x+)的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图. 用“五点法”作y=asin(x+)的简图，主要是通过变量代换，设z=x+,由z取 来求出相应的x，通过列表计算得出五点坐标，描点后得出图象. （2）由函数y=sin x的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象.有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一：先平移后伸缩 y=sin x 向左(0)或向右（0） y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍,平移|个单位,纵坐标不变,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,y=sin(x+).,方法二：先伸缩后平移 y=sin x y=sin x,横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,向左（0）或向右(0),平移 个单位,y=sin(x+).,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,2. y=asin(x+)(a0,0),x0,+)表示一个振动量时，a叫 振幅， 叫 周期， 叫 频率，x+叫 相位，x=0时的相位称为 初相 .上述概念是在a0且0的 前提下的定义,否则当a0或0,则就不能称为初相.,题型一 三角函数y=asin(x+)的图象 【例1】 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,典例分析,分析 （1）由振幅、周期、初相的定义即可解决. （2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点. （3）只要看清由谁变换得到谁即可.,解 (1) 的振幅a=2,周期t=,初相 (2)令,(3)方法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 的图象，再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,得到 的图象，最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图象.,方法二：将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=sin 2x的图象；再将y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得到 的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象.,学后反思 （1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象. （2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位.,举一反三,1. 已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （2）在直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间 上的图象.,解析: (1)f(x)=2 +2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x =1+ （sin 2xcos -cos 2xsin ） =1+ sin（2x- ）, 所以函数f(x)的最小正周期为,最大值为1+ . (2)由(1)知,故函数y=f(x)在区间 上的图象是,题型二 三角函数y=asin(x+)的解析式,【例2】已知正弦函数y=asin(x+)(a0,0)的图象如右图所示. （1）求此函数的解析式f1(x); (2)求与f1(x)图象关于直线x=8对称的曲线的解析式f2(x).,分析 (1)由图象得振幅a= ,曲线是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零点，从而t=26-(-2)=16. (2)函数的对称转化为点的对称，利用“转移法”求解.,解 (1)由图象可知，a= , =2(6+2)=16,= , 即y= sin x+,将x=2,y= 代入， 得 = sin( 2+), 即sin( +)=1,解得= . f(x)= sin( x+ ). (2)设（x,y）是f1(x)图象上的任意点，与它关于直线x=8对称的点为(x,y), 则 代入y=f1(x)中, 得 , f2(x)= .,学后反思 (1)在由图象求解析式时，“第一零点”的确定是很重要的，尽量使a取正值，由f(x)=asin(x+)(a0,0)的一段图象求其解析式时，a比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法: (i)如果图象明确指出了周期t的大小和“零点”坐标，那么由 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0,则令x0+=0（或x0+=）即可求出.,(ii)代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式,再结合图形解出和.若对a，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. （2）利用图象特征确定函数解析式y=asin(x+)+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法： (i)振幅a= (ymax-ymin). (ii)相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出的值. (iii)确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.,举一反三 2. (2009江苏模拟) 函数y=asin(x+)(0,| ,xr)的部分图象如图所示，则函数表达式为_.,解析： 由图象可知，a=-4, =8, 设 ,代入最低点坐标（2,-4）,可得,答案：,题型三 三角函数y=asin(x+)模型,【例3】如图，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=asin(x+)+b. （1）求这一天的最大用电量及最小用电量； （2）写出这段曲线的函数解析式.,分析 在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在.,解 (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度. （2）观察图象可知，从814时的图象是y=asin(x+)+b的半个周期的图象. a= (50-30)=10,b= (50+30)=40. =14-8= ,= , y=10sin( x+)+40, 将x=8,y=30代入上式，解得= . 所求解析式为y=10sin( x+ )+40,x8,14.,学后反思 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.,举一反三,3. 右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一周，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob,设b点与地面距离为h. (1)求h与间关系的函数解析式； （2）设从oa开始转动，经过t秒到达ob,求h与t之间的函数解析式.,解析： （1）由已知作图，过点o作地面平行线on，过点b作on的垂线bm交on于m点，当 时，bom=- . h=|oa|+0.8+|bm| =4.8sin(- )+5.6, 经验证当0 时，上述关系也成立. （2）点a在o上逆时针运动的角速度是 (已知60秒转动一周)， t秒转过的弧度数为 t. h=4.8sin( t- )+5.6,t0,+).,题型四 三角函数y=asin(x+)的综合应用 【例4】 (14分) (2008山东）已知函数 为偶函数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 的值；,（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.,分析 （1）先把函数化成f(x)=asin(x+)的形式，再利用奇偶性和对称性求出函数f(x)的解析式，进而求出 (2)利用函数图象的变换确定出新函数y=g(x)的解析式，再求出其单调递减区间.,解 因为f(x)为偶函数，所以对任意xr,f(-x)=f(x)恒成立,因此 即 整理,得 因为0,且xr,所以,又因为0,故,所以,由题意得 ,所以=2,故f(x)=2cos 2x. 因此,(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象. 所以 当2k 2k+(kz), 即4k+ x4k+ (kz)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为,学后反思 本题是一个三角函数的综合题，综合考查了三角函数的奇偶性、对称性、单调区间的求解，还有图象的平移问题.解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之间的关系，一般地，正余弦函数图象相邻的两条对称轴（或两个相邻的对称中心）的距离等于函数的半个周期，因此，正弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为 其中t为函数的最小正周期；正余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距离恰好是周期的14，所以正余弦函数图象的任一条对称轴和任意一个对称中心之间的距离是,举一反三,4. 已知函数f(x)=sin（x+ ）+sin（x- ）- ,xr(其中0). (1)求函数f(x)的值域； （2）若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为 ，求函数y=f(x)的单调增区间.,解析：（1）f(x)= 由-1sin(x- )1, 得-32sin(x- )-11. 可知函数f(x)的值域为-3,1. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为,又由0,得 =,即得=2. 于是有f(x)=2sin(2x- )-1, 再由2k- 2x- 2k+ (kz), 解得k- xk+ (kz). 所以y=f(x)的单调增区间为k- ,k+ (kz).,易错警示,【例】 函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 所得函数解析式为. 错解 方法一： 将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,方法二：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得 方法三：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得,错解分析 这三种解法都是错误的,其原因在于没有抓住变换的对象.方法一在平移变换时把5x看做变换的对象；方法二在伸缩变换时把 看成了变换的对象；方法三则犯了上述两种错误，即把5x看做变换的对象，又把 看成了变换的对象.事实上，无论是平移变换还是伸缩变换，都应紧紧抓住变元是谁这个关键.在本例中，变元x才是变换的对象，图象向右平移 个单位，是将自变量x减去 个单位长度，即将x换成 其余的不变，压缩横坐标到原来的 ，是将x换成2x，其余的不变.,正解 将原函数向右平移 个单位长度，所得函数解析式为,考点演练,10. 关于x的方程 -xcos acos b- =0有一个根1