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第一章 控制系统的状态空间表达式,1-1 状态变量及状态空间表达式 1-2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1-3 状态变量及状态空间表达式的建立（一） 1-4 状态变量及状态空间表达式的建立（二） 1-5 状态矢量的线性变换（坐标变换） 1-6 从状态空间表达式求传递函数阵,系统描述中常用的基本概念和数学方法,概述,系统的内部描述,古典控制理论,描述单变量线性定常系统 传递函数或频率特性,根据系统的输入-输出之间的关系来描述系统的行为,系统的外部描述,现代控制理论,状态空间描述,不仅描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为,1-1 状态变量及状态空间表达式,一、状态变量,能完整地、准确地表征系统时域行为(运动状态)的最小个数的一组变量为状态变量。,例：图示的两个网络，u(t)和i(t)分别是系统的输入变量， y(t)是输出变量。,图一,图二,图一系统中,图二电路,令x(t)=y(t)，y(t0)为状态变量的初值，即,则,二、状态矢量,以状态变量为分量组成的矢量称为状态矢量，记为,或,动态系统、独立贮能元件、微分方程、状态变量等有着紧密的内在联系。,三、状态空间,以状态变量为坐标构成的欧几里德空间称为状态空间。,四、状态空间表达式,状态变量,控制变量,输出变量,通常并不要求必须是可测量的,可以直接测量的，又称为量测变量,输出方程,状态方程,引入向量、向量函数及矩阵,状态向量,控制（输入）向量,输出（量测）向量,系统的状态方程一般可用一组一阶微分方程来描述,系统的状态空间表达为,状态方程,输出方程,若所描述的被控过程是线性的，则,状态方程,输出方程,A(t)为nn的系数矩阵，B(t)为nr的控制矩阵 C(t)为mn的输出矩阵，D(t)为mr的直联矩阵,系统的状态表达式可简记为,若所描述的被控过程是线性时不变的，则,简记为,单输入单输出定常系统： 输出方程形式如下：,单输入单输出定常系统： 其中：,多输入多输出定常系统：r个输入、m个输出,输出方程形式如下：,多输入多输出定常系统： 其中：,多输入多输出定常系统： 其中：,五、状态空间表达式的系统框图,结构图,注:用单箭头表示标量信号,双箭头表示矢量信号,见教材P14,和古典控制理论不同，状态空间表达式考虑了“输入状态输出”这一过程，它注意到了被输入输出描述所忽略了的状态。输入引起了状态的变化，而状态才决定了输出的变化。因此状态空间表达式是对系统的结构特性的反映，而输入输出描述只是对系统的端部特性的反映。然而具有相同端部特性的系统，都可以具有不同的结构特性经。这表明状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。 输入引起状态的变化是一个运动过程，在数学上表征为向量微分方程，即状态微分方程。而状态决定输出的变化则仅是一个变换过程，数学上输出方程表征为一个变换过程。 从数学上看，状态变量组是反映系统运动特性的变量的最大线性无关组。所以，就系统的结构而言，其状态变量个数当且等于系统中所包含的独立的贮能元件的个数，则一个n阶系统，有且仅有n个状态变量可以选择。,状态空间表达式问题的讨论,对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的。 对于结构和参数已知的系统，建立状态空间表达式的问题，归结为把直接根据物理学定律组成的微分方程转化为状态变量的一阶微分方程组。,由基尔霍夫定律，列写网络方程,电容两端电压,流经电感的电流,从而有,进而导出,状态方程,输出方程,矩阵形式,1-2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图,模拟器件,绘制步骤：（1） 绘制积分器 （2） 画出加法器和放大器 （3） 用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。,例2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为,则其模拟图为,u,y,+,+,+,-,3,-,6,-,2,x,3,x,2,x,1,一、从系统方块图出发建立状态空间表达式,方法： 将系统方块图中的各个环节变换成模拟结构图，并把每个积分器的输出作为一个状态变量 ,其输入便是相应的 ，然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。,1-3 状态变量及状态空间表达式的建立(一),写成矩阵形式，系统的状态空间表达式为：,二、从系统机理出发建立状态空间表达式：,例 系统如图所示,选择状态变量：,整理得：,状态方程为：,输出方程为：,写成矩阵形式,例求图示机械系统的状态空间表达式 外力 位移,牛顿力学定律,令,-弹性系数,阻尼系数,动态方程如下,状态空间表达式为：,解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选,例2求图示RLC回路的状态空间表达式,为系统两状态变量，则原方程可化成 写成矩阵向量的形式为：,令 为状态向量 则：,由描述系统 输入-输出动态关系的微分方程或传递函数，建立系统的状态空间表达式。 这样的问题叫实现问题。,1-4 状态变量及状态空间 表达式的建立（二）,状态空间表达式既保持了原传递函数所确定的输入输出关系，又将系统的内部关系揭示出来。 根据输入输出关系求得的状态空间表达式并不是唯一的。,单输入-单输出线性定常系统,n阶线性常系数微分方程,对应的传递函数,一、传递函数中没有零点时的实现 -（系统输入量中不含导数项）,对应的传递函数：,选取： 状态空间表达式：,状态变量结构图,例 设 求（A，B，C，D） 解：选 则,状态空间表达式为,二、传递函数中有零点时的实现 系统输入量中含有导数项 如果单输入单输出系统的微分方程为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。,考虑一般情况：,严格真分式传函 前馈系数 上式中的系数用长除法得到：,* 串联分解的形式,选取状态变量,则状态方程为：,输出方程为： 写成向量-矩阵形式为：,这样的A阵又称友矩阵，若状态方程中的A， b具有这种形式，则称为可控标准型。 当 时，A，b不变。 系统A，b，C，D称为G（s）的可控标准 形实现。,则,对,其系统模拟结构图如图1.14所示（）,一、 系统状态空间表达式的非唯一性 前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。 一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的 电路），因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。,1-5 状态矢量的线性变换(坐标变换),补充内容： 称为n阶单位矩阵。,设线性常定系统的状态空间表达为 令 则,例：设系统的状态空间表达式为： 取变换矩阵 则,取变换矩阵 则,二、系统特征值的不变性及系统的不变量,1、系统特征值 系统 系统的特征值就是系统矩阵A的特征值，即特征方程： 的根。,2、系统的不变量与特征值的不变性 同一系统，经非奇异变换后，得 其特征方程为： 可以证明变换前后系统的特征值是不变的。 即证明：,称特征多项式的系数为系统的不变量。,3、特征矢量,例：试求 的特征矢量。 解：,得： 互异 必存在非奇异变换阵 ，把A化成对角阵,得： 取：,同理可取： 则：,则,三、状态空间表达式变换为约旦标准型,无重根时：,有重根时：,（1）A阵的特征值无重根时,1、A阵为任意形式,例：试求 的特征矢量。 解：,得： 互异 必存在非奇异变换阵 ，把A化成对角阵,得： 取：,同理可取： 则：,则,（2）A阵的特征值有重根时,例：,化为约当标准型。 解：,只能确定一个 广义特征向量,即：,化为约当标准型为,2 、A阵为友矩阵 且有n个互异的实数特征值 则下列的范得蒙特矩阵可使A对角化,例：设 化为对角阵,为友矩阵。,（互异） 则：,则 (2) 设A为友矩阵， 具有m重实特征根 且只有一个独立的实特征向量 ，则使 A约当化得 为,式中 例：A为友矩阵，且有特征值,则A阵约当化后为： 使A约当化后的 为：,3、系统的并联型实现,(1)、互异实根,模拟结构图（并联结构） 对角标准形 (a),3、系统的并联型实现,特点： 传函极点 全1 对应极点的分子系数,对角标准形 (b),b. 选取状态变量:,b. W(s)含重实极点 为了简单起见，设W(s)只有r重极点，则 传递函数的部分式展开式为：,.,状态变量图,其中,选取状态变量的拉氏变换为：,化为状态变量的一阶微分方程，则有,输出方程,.,状态空间表达式,例：设系统传递函数为： 试求其状态空间表达式。 解：分母 三重极点 用部分分式为：,状态空间表达式,1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 (1)定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏 变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关 系 传递函数矩阵（简称传递矩阵） (2)表达式：设