经济应用数学基础一微积分试题及答案.pdf

高等数学（上）模拟试卷一 一、一、填空题（每空填空题（每空 3 3 3 3 分，共分，共 42424242 分）分） 1、函数 4lg(1)yxx=+ 的定义域是； 2、设函数 20 ( ) 0 x x f x axx 时， 2 ln(1) 2 x xx+ （本题 8 分） 2、 求由 ,0 x yeye x= 所围成的图形的面积， 并求该图形绕x轴旋转一周所形成的旋转 体的体积。 （本题 10 分） 高等数学（上）模拟试卷二 一、填空题（每空一、填空题（每空 3 3 3 3 分，共分，共 42424242 分）分） 1、函数 2 4lg(1)yxx=+ 的定义域是； 2、设函数 sin 0 ( ) 20 x x f xx axx 时， lnln()ln 2 xy xxyyxy + + （本题 8 分） 2、求由 ,yx yx= 所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体 的体积。 （本题 10 分） 高等数学（上）模拟试卷三 一一 、填空与选择、填空与选择： （每题 3 分，共 30 分） 1。已知函数 ( )f x 的定义域为 )1,0 ， 则 (ln )fx 的定义域为 _. 2 21 lim() 21 x x x x + = _. 3已知 11, 0 ( ) , =0 x x f x x ax + = 在 0x= 处连续，则a=_. 4. 13 2 1 2 2 arcsin = 1 x dx x _. 5已知向量 3, 4,0a = ， , 1,1bk = ，若a b ，则k=_. 6当 0x 时，函数 2 (1) x eaxbx+ 是比 2 x 高阶的无穷小，则 （A） 1 , 1 2 ab= （B） 1, 1ab= （C） 1 , 1 2 ab= = （D） 1, 1ab= = （） 7设函数 ( )f x 处处连续， ，且在 1 xx= 处有 1 ()0fx= ，在 2 xx= 处不可导， 则（） （A） 1 xx= 及 2 xx= 都不是 ( )f x 的极值点（B）只有 1 xx= 是 ( )f x 的极值点 （C）只有 2 xx= 是 ( )f x 的极值点（D） 1 xx= 及 2 xx= 都可能是 ( )f x 的极值点 8函数 32 33yxaxbxc=+ 在 1x= 处取极大值，点(0,3)是拐点，则（） （A） 1,0,3abc= = （B） 0,1,3abc= = （C） 3,1,0abc= = （D）以上均不对 9设 2 ( )f x dxxC=+ ，则 2 (1)xfx dx= （） （A） 22 2(1)xC+ （B） 22 2(1)xC+ （C） 22 1 (1) 2 xC+ （D） 22 1 (1) 2 xC+ 10 设 函 数 ( )f x 在 区 间 ,a b 上 满 足 ( )0f x ， ( )0fx ， 记 ( ), N= ( )() b a Mf x dxf a ba= ，则（） （A）M N （B）N M （C）N M= （D）以上均不对 二、计算题二、计算题（每题 6 分，共 24 分） 1 0 11 lim ln(1) x xx + 2 2 3 2 0 0 lim 1 x x x t dt e 3. arctan (1) xdx xx+ 4. sin(ln )x dx 三三、求解下列各题求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） 1. 设 1 , 1+ ( ) 1 , 0 1 x xo x f x x e = + ，求 1 1 ( )f t dt 2.设函数 ( )yy x= 由方程 sin cos y exyx+= 确定，求 dy dx. 3.设函数 ( )yy x= 由方程 2 ln(1) arctan xt ytt =+ = 确定，求 2 2 , dy d y dx dx . 4.已知 ( ) (ln ), f x yfx ef=且 可微,求dy. 四四、证明与解答证明与解答（第 1 题 8 分，第 2 题 10 分，共 18 分） 1求证：当 0x 时， 22 1ln(1)1xxxx+ （提示：利用函数的单调性） 。 2 设曲线 2 yx= ，l是它过点 2 ( ,)a a 的切线(0 2)a ， （1） 求切线l与直线 0, 2xx= 和曲线 2 yx= 所围成的平面图形的面积S(如图 12 SSS=+ )； （2）a为何值时S最小. y x 1 S 2 S a 20 高等数学（上）模拟试卷五 一、一、 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分） 1. 已知函数 1) 1(+=xef x ，则 =)(xf ； 2. 设 + xf ， 0)(+ (10 ) 2, 设抛物线方程为： 2 xy= , 且设l为抛物线在点P ),( 2 aa(02)a 二、二、 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分） 1.当 0x 时， 11 2 ax 与 xxsin 是等价无穷小，则 =a . 2.设 x x y ln = ，则 = =1x dy . 3.曲线 3 ) 1( =xy 的拐点是. 4. = dxx 1 0 2 1 . 5.设 bakjibkjia +=且,23 ，则 = 。 三、计算(每题 8 分，共 16 分) （1）设 )1( 2 sinx ey = ，求dx dy ； （2）设函数 )(xyy= 由方程 yx xy +=2 所确定，求 0=x dy 。 四、计算(每题 8 分，共 24 分) （1） () dxxxxcotcsccot （2） + + 0 2 84xx dx （3）求 )0() 1 2()( 1 =xdt t xF x 的单调减少区间。 五(18 分)过 (0, 0)P 作抛物线 1yx= 的切线。 （1）求证该切线方程为 20xy= . （2）求由抛物线、切线及x轴所围成的平面图形的面积. （3）求（2）中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 六、 （1）一平面过点( )1, 0, 1 且平行于向量 0, 1, 11, 1, 2=ba 和 ，试求这平 面方程。(6 分) （2）试求通过 )5, 3 , 2(A 且平行于直线 =+ =+ 0323 0723 zyx zyx 的直线方程. 高等数学（上）模拟试卷一参考答案 一、填空题：1、1 4x + 2 四、设 当时，为单调递增函数， f(x)f(0), x ln(x+1)x-，（ ） 2 1 0 1 222 0 22()1(4 ) 11 1(4 ) 22 x x See dx Vee dxe = = =+ 、绘图正确得 ， 高等数学（上）模拟试卷二参考答案 1 3 112;21;3 320;4 2 ;567 8);9;10;1112;13ln2( ) xaxyxe fx dx + = + + x 四、设 lnx 为凹函数，(2 ), 2 （ 1 3 1 2 2 0 0 1 0 211 22)(4 ) 326 11 (4 ) 36 Sxx dxxx Vxdx = = 、画图正确得 ，（ 高等数学（上）模拟试卷三参考答案 一一 、填空与选择、填空与选择： （每空 3 分，共 30 分） 1 ) 1,0 e 2. e 3. 1 2 4. 0 5. 4 3 6.（A）7. （D）8. （B）9. （C）10.（A） 二、计算题二、计算题（每题 6 分，共 24 分） 0 0 2 00 0 11 1. lim ln(1) ln(1) =lim(1) ln(1) 1 1 ln(1) 1 =limlim(4) 2 1 lim=(1) 2 (1)2 x x xx x xx xx xx xx x xx x xx + + + + + = = + 分 分 分 3 2 2 3 2 0 0 2 0 2.lim ()2 = lim(4) 0(2) 1 x x x x x t dt xx e e = 分 分 2 arctan 3. (1) arctan 2(2) (1) 2arctan(arctan)(2) (arctan)(2) xdx xx xd x x xdx xC + = + = =+ 分 分 分 4. sin(ln ) 1 = sin(ln )cos(ln )(2) sin(ln )cos(ln ) sin(ln )cos(ln )sin(ln )(2) 1 sin(ln )sin(ln )cos(ln )(2) 2 x dx xxxxdx x xxx dx xxxxx dx x dxxxxC = = =+ 分 分 分 三三、求解下列各题求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） 1 0 1 11 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 11 1. ( )(2) 11+ (1)ln(1)(2) 1 ln(1)ln(1)(2) ln2 1 ln(1)ln2ln(1)(1) t t t t f t dtdtdt et e dtt e tet ee =+ + =+ + =+ = +=+ 分 分 分 分 2.两边同时对x求导，得 ()2sin(5) sin (2) 2 xy xy xy eyxyyyx dyxye dxxey += = + 分 分 22 23 (coscossin ) 3. tan(5) ( sinsincos ) sec1 (2) ( sinsincos )cos dy dyatttt dt t dx dxatttt dt d yt dxattttatt + = + = + 分 分 2 2 (ln ) 4. sec( )( )(5) (ln ) sec( )( )(2) fx yf x fx x fx dyf x fxdx x =+ =+ 分 分 四四、解答题解答题（第 1 题 8 分，第 2 题 10 分，共 18 分） () () ( ) ()() () 4342 443 ( ) 0 32 (4)8(2)(24) ( )0,2 0,200 22 0( )0,( )0 2( )0,( ) 2( )0,( ) f x xx xxxxxx fxx xxx xx xfxf xxfxf x xfxf x + = = 1.定义域为，(0,+ ) 得（4分） 则将定义域分为三部分， ， ， ，+ 当， 时，函数单调增加；当， 时，函数单调减少； 当，+时，函数单调增加 2( )3.xf x= （3分） 是函数的极小值点，极小值为（1分） 1 1 23 0 0 1 2 1 253 0 0 14 2. S=1 33 1228 1 5315 xdxxx Vxdxxxx +=+= =+=+= （）（5分） （）（5分） 高等数学（上）模拟试卷四参考答案 一、填空与选择题一、填空与选择题： （每空 3 分，共 30 分） 1 2 ln (1) 1x+ 2. 2 e 3.( ,2 4. 0 5.4 24ijk + 6.（B）7. （C）8. （C）9. （D）10.（C） 二、计算题二、计算题（每题 6 分，共 24 分） 2 0 0 2 0 ln(1)ln(1) 1. lim sin 11 11 =lim(4) 2sincos 2 =lim 2sincos (1) =-1(2) x x x xx x xx xx x xxx + + 分 分 00 2 0 0 111 2. lim() lim(1) 1(1) 1 = lim(2) 1 lim(2) 2 1 (1) 2 x xx xx x x x x ex xex e ex x e x = = = 分 分 分 分 2 2 2 lncos 3. cos tan lncostan(3) tan lncos(sec1)(2) tan lncostan(1) xdx x xxxdx xxxdx xxxxC =+ =+ =+ 分 分 分 22 sin 2 2 sincos 4. (2) cos 1 1 cos2 2 11 sin2(3) 24 11 arcsin1(1) 22 xt x dxttdt t x tdt ttC xxxC = = =+ =+ 分 分 分 三三、求解下列各题求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） 2 1 0 1 2 2 11 0 0 1 2 0 1 2 1. ( )(2) 1 1 arctan(4) 2 1 (1)(1) 24 t t t f t dtedtdt t ett e =+ + = + =+ 分 分 分 2.两边同时对x求导，得 sin sin cossin(5) sin (2) cos y y ey yyxyx dyxy dxeyx += = + 分 分 2 2 22 2 2 1 1 1 3. (5) 2 2 1 1 1 2 (2) 2 4 1 dy dyt dtt dxt dx dtt d yt t dxt t + = + + = + 分 分 ( ) ( ) (ln ) 4. (ln )( )(5) (ln ) (ln )( )(2) f x f x fx yfx fxe x fx dyfx fxedx x =+ =+ 分 分 四四、证明与解答证明与解答（第 1 题 8 分，第 2 题 10 分，共 18 分） 22 2 222 2 ( )1ln(1)1 ( )ln(1)(1) 111 ln(1) 0,( )0 0,( )( )(0).(0)0,( ) f xxxxx xxx fxxx xxxx xx xfx xf xf xfff x = + =+ + =+ = 1.设（1分） 则 （4分） 由于当时 所以当时单调增加，于是又故 22 0 1ln(1)1xxxx+即（3分） 2 2 2 2 22322 0 0 2 2 1 (1) S=-(2) 3 8 42, 0,2 3 (2) S =44,S =0,1. yxl yaxa xaxadxxaxa x aaa aa = = =+ =+ = 2.曲线过点的切线 的方程为 （3分） （3分） 令得唯一驻点 288 S(1)=,S(0)=,S(2)=1S. 333 a= （3分） 又.故时, 最小（1分） 1、 高等数学（上）模拟试卷五参考答案 一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分） 1. ) 1( , 1)1ln(+xx ; 2.1；3.14.0；5. 4, 2, 2 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分） 1. B;2.D ;3.D ;4.C ;5.B 三三计算题计算题（每题 6 分，共 42 分） 1. = xx xe x x 3 2 0 sin )1( lim 4 2 0 )1( lim x xex x 2 2 2 0 ) 1 (lim x xex x = 2 2 0 ) 1 lim( x xex x = 4 4 1 ) 2 1 lim( 2 0 = = x e x x 6 2. 21 lim() 23 x x x x + = + 232 223 2 lim(1) 23 xx x x x + + + + 2 1 e= 6 3. 222 xx y y + += , 方程两边同时对求导得：2 ln2 22ln2 (1) xx y yy + +=+ 2 故： 2 ln2(12 ) 2ln22 xy x y y + = 4 2 ln2(12 ) 2ln22 xy x y dydx + = 6 四1. )cos(sinttex t t +=tey t t sin2= 2 2sin2sin (sincos )sincos t t t tt ydyett dxxetttt = + 4 2 23 ( sin )2 cot(sincos ) t d ydydxtt dxdtdttett = + 6 2. dx xx x )1 ( arcsin xd x x = 1 arcsin 2 2 xdxarcsinarcsin2= 4 Cx+= 2 arcsin 6 3. dx xx 4 1 22 tdt tt tansec2 tan2sec4 1 2 2 tdtcos 4 1 = Ct+=sin 4 1 6 2 4 4 x C x =+ 6 4. 4 0 1cos2 x dx x + 4 2 0 2cos x dx x 4 0 tan 2 xd x = 2 4 4 0 0 1 tantan 22 x xxdx = 4 4 0 111 lncosln2 8284 x =+= 6 五.解答题解答题（2 小题，共 28 分） 1解：令 2 )1ln()( 2 x xxxf+= 2 x=2sect 则 0)0(=f ， 0 1 1 1 1 )( 2 + =+ + = x x x x xf 6 故 2 )1ln()( 2 x xxxf+= 在 ), 0 + 单调增加 8 当 0x 时， 0)0()(=fxf 。 即， 2 )1ln( 2 x xx+ 0 1 2解：抛物线在P点的切线斜率为： ay2= 2 曲线在P点的切线方程为： )(2 2 axaay= ，即 2 2aaxy= 3 在X轴上的交点为 )0, 2 (a 4 （1）A 22 2232 0 2 18 (2)24 43 a x dxaxadxaaa= + 8 （2） 2 3 44 4 Aaa = + 10 2 3 440 4 Aaa = += ，得 4, 3 4 =aa （舍去） 12 当 3 4 =a 时，该图形 S 的面积 A 取得最小值 8 27 14 高等数学（上）模拟试卷六参考答案 一、填空题一、填空题： （每空 3 分，共 15 分） 1. 2, 1 ( ; 2.1；3. 0 2()fx 4.2 ；5.1 二、选择题二、选择题： （每空 3 分，共 15 分） 1. B;2.D ;3.B ;4.A ;5.B 三、三、计算题计算题（每题 6 分，共 18 分） 1. = xx xee xx x sin 2 lim 0 x ee xx x cos1 2 lim 0 + 2 x ee xx x sin lim 0 = 4 x ee xx x cos lim 0 + = 2= 6 2. = + 22 )2sin( lim 0 x x x x xx x )22)(2sin( lim 0 + 2 )22( 2 )2sin( 2lim 0 += x x x x 4 24= 6 3. arcsinx ye= , arcsin (arcsin) x yex= 2 arcsin 11 12 x e xx = 4 dy arcsin 11 12 x edx xx = arcsin 2 1 2 x edx xx = 6 四、求解下列各项题四、求解下列各项题（每小题 7 分，共 28 分） 1. t t xt sin cos = ttytcos= 2 cos sin cos () sin t tt ydytt tt t dxx t = 4 2 2 ( sin ) sintan sin cot d ydydxtt tttt dxdtdtt =+ 7 2. dx x x + + 2 1 arctan43 xdxarctanarctan43 += 2 )arctan43(arctan43 4 1 xdx+= 4 3 1 (34arctan ) 6 xC=+ 7 3. dx x x 9 2 tdt t t tansec3 sec3 tan3 2 tdt 2 tan3= 4 Cttdtt+= 3tan3) 1(sec3 2 6 2 3 93arccosxC x =+ 7 4. 2 0 ) 1(dxxf 1 1 )(dttf = 0 1 )(dttf + 1 0 )(dttf 2 + + = 0 1 1 1 dt e ee t tt + + 1 01 1 dt t 4 ) 1ln( +=e 7 五.解答题解答题（2 小题，共 24 分） 1解： 曲线C与直线l的交点为 )0, 0( 与 )2, 2( ， 2 （1）A 2 2 0 2 () 23 x xdx= 7 （2）V 4 2 2 0 16 () 415 x xdx= 2 1 2 解： 由题意知： 121 (22 ) 2 x Sxx x = (1) 21Sxx= ， 1 (1) 2 x 极小值为 3 27 | 4 x y = = .(2 分) 令 2 2 0 d y dx = ,得 0x= 0x 时， 2 2 0 d y dx 凹区间为(0,1)及(1, )+ 时，拐点为 (0, 0)(4 分) 六（1）证明 ： 1 1 |0.5 22 x y x = = = (3 分) 0.5210kxy= = 为切线方程(3