2016中考数学存在性问题复习学案

1 / 21 2016 中考数学存在性问题复习学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 存在性问题 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题 ,这类问题的知识覆盖面较广 ,综合性较强 ,题意构思非常精巧 ,解题方法灵活 ,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高 .存在性问题按定性可分为 :肯定型和否定型 .存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算 ,对基础知识 ,基本技能要求较高 ,并具备较强的探索性 .正确、完整地解答这类问题 ,是对我们知识、能力的一次全面的考验 . 【解题策略】不同的 存在性问题解法不同 .下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等 )、点的存在性问题 (如构成特殊图形的点是否存在 )并举例分析 . (1)代数方面的存在性问题的解法思路是 :将问题看成求解题 ,进行求解 ,进而从有解或无解的条件 ,来判明数学对象是否存在 ,这是解决此类问题的主要方法 . (2)点的存在性问题的解法思路是 :假设存在 推理论证 得出结论 .若能导出合理的结果 ,就做出 “ 存在 ” 的判断 ;若导出矛盾 ,就做出不存在的判断 . 2 / 21 类型一 代数方面的存在性问题 典例 1 (XX湖北随州 )已知两条平行线 l1,l2 之间的距离为 6,截线 cD分别交 l1,l2于 c,D两点 ,一直角的顶点P 在线段 cD 上运动 (点 P 不与点 c,D 重合 ),直角的两边分别交 l1,l2与 A,B两点 . (1)操作发现 : 如图 (1),过点 P作直线 l3l1, 作 PEl1, 点 E是垂足 ,过点B作 BFl3, 点 F是垂足 .此时 ,小明认为 PEAPFB, 你同意吗 ?为什么 ? (2)猜想论证 : 将直角 APB 从图 (1)的位置开始 ,绕点 P 顺时针旋转 ,在这一过程中 ,试观察、猜想 :当 AE 满足什么条件时 ,以点 P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形 ?在图 (2)中画出图形 ,证明你的猜想 . (3)延伸探究 : 在 (2)的条件下 ,当截线 cD与直线 l1所夹的钝角为 150 时 ,设 cP=x.试探究 ,是否存在实数 x,使 PAB 的边 AB的长为 4?请说明理由 . (1) 3 / 21 (2) 【 全 解 】 (1) 如图 (1), 由 题 意 , 得EPA+APF=90,FPB+APF=90, EPA=FPB. 又 PEA=PFB=90, PEAPFB. (2)如图 (2),APB=90, 要使 PAB 为等腰三角形 ,只能是 PA=PB. (1) (2) 当 AE=BF 时 ,PA=PB, EPA=FPB,PEA=PFB=90,AE=BF, PEAPFB. PA=PB. (3)如图 (2),在 RtPEc 中 ,cP=x,PcE=30, 整理 ,得 x2-12x-8=0, 解得 x=6-26+6=12, 且 cD=12, 4 / 21 点 P在 cD的延长线上 ,这与点 P在线段 cD上运 动相矛盾 . 不合题意 . 综上 ,不存在满足条件的实数 x. 举一反三 1.(XX山东烟台 )如图 ,点 A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上 ,ADx 轴于点 D,Bcx 轴于点 c,Dc=5. (1)求 m,n的值并写出反比例函数的表达式 ; (2)连接 AB,在线段 Dc上是否存在一点 E,使 ABE 的面积等于 5?若存在 ,求出点 E 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . (第 1 题 ) (1)求 b 的值 ,求出点 P、点 B 的坐标 ; (2)如图 ,在直线 y=x上是否存在点 D,使四边形 oPBD为平 行四边形 ?若存在 ,求出点 D 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 ; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 m,使 AmPAmB?如果存在 ,试举例验证你的猜想 ;如果不存在 ,试说明理由 . 【小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换 (平移 ,对称 )、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称 最短路线问题等知识点 ,还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想 ,难度较大 . 类型二 点的存在性问题 5 / 21 (1)直接写出 A,D,c三点的坐标 ; (2)若点 m 在抛物线上 ,使得 mAD 的面积与 cAD 的面积 相等 ,求点 m 的坐标 ; (3)设点 c关于抛物线对称轴的对称点为 B,在抛物线上是否存在点 P,使得以 A,B,c,P 四点为顶点的四边形为梯形 ?若存在 ,请求出点 P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . (2)根据抛物线的对称性 ,可知在在 x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点 ;再根据三角形的等面积法 ,在 x 轴上方 ,存在两个点 ,这两个点分别到 x 轴的距离等于点 c 到 x 轴的距离 ; (3)根据梯形定义确定点 P,如图所示 : 若 BcAP1, 确定梯形 ABcP1.此时 P1 与 D 点重合 ,即可求得点 P1 的坐标 ; 若ABcP2, 确定梯形 ABcP2.先求出直线 cP2 的表达式 ,再联立抛物线与直线表达式求出点 P2的坐标 . (3)结论 :存在 . 如图所示 ,在抛物线上有两个点 P 满足题意 : 若 BcAP1, 此时梯形为 ABcP1. 6 / 21 由点 c关于抛物线对称轴的对称点为 B,可知 Bcx 轴 ,则点P1与点 D 重合 , P1( -2,0). P1A=6,Bc=2, P1ABc. 四边形 ABcP1为梯形 . 若 ABcP2, 此时梯形为 ABcP2. 点 A 坐标为 (4,0),点 B 坐标为 (2,-3), 化简得 x2-6x=0, 解得 x1=0(舍去 ),x2=6, 点 P2横坐标为 6,代入直线 cP2表达式求得纵坐标为 6. P2(6,6). ABcP2,ABcP2, 四边形 ABcP2为梯形 . 综上所述 ,在抛物线上存在一点 P,使得以点 A,B,c,P四点为顶点所构成的四边形为梯形 ;点 P 的坐标为 (-2,0)或 (6,6). 举一反三 3.(XX湖北十堰 )已知抛物线 c1:y=a(x+1)2-2 的顶点为 A,且经过点 B(-2,-1). (1)求 A 点的坐标和抛物线 c1的表达式 ; 7 / 21 (2)如图 (1),将抛物线 c1 向下平 移 2 个单位后得到抛物线c2, 且抛物线 c2 与直线 AB 相交于 c,D 两点 , 求SoAcSoAD 的值 ; (3)如图 (2),若过 P(-4,0),Q(0,2)的直线为 l,点 E 在 (2)中抛物线 c2对称轴右侧部分 (含顶点 )运动 ,直线 m过点 c和点E.问 :是否存在直线 m,使直线 l,m 与 x 轴围成的三角形和直线 l,m与 y轴围成的三角形相似 ?若存在 ,求出直线 m的表达式 ;若不存在 ,说明理由 . 【小结】根据以上分析 ,我们可以归纳出存在性问题的解决策略 :(1)直接求解法 :存在性问题探索的结果有两种 :一种是存在 ;另一种是不存在 .直接求解法就是直接从已知条件入手 ,逐步试探 ,求出满足条件的对象 ,使问题得到解决的解法 .(2)假设求解法 :先假设结论存在 ,再从已知条件和定义 ,定理 ,公理出发 ,进行演绎推理 ,若得到和题意相容的结论 ,则假设成立 ,结论也存在 ;否则 ,假设不成立 ,结论不存在 .(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法 ,特别是在无限个候选对象中 ,证明某种数学对象不存在时 ,逐一淘汰的方法几乎不能实行 ,更需要使用反证法 . 交于 A,B两点 ,与 y 轴交于 c 点 . 8 / 21 (1)求抛物线的表达式 ; (2)点 P为抛物线对称轴上的动点 ,当 PBc 为等腰三角形时 ,求点 P 的坐标 ; (3)在直线 Ac 上是否存在一点 Q,使 QBm 的周长最小 ?若存在 ,求出 Q 点坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 2.(XX陕西 )问题探究 (1)如图 (1),在矩形 ABcD中 ,AB=3,Bc=4,如果 Bc边上存在点P,使 APD 为等腰三角形 ,那么请画出满足条件的一个等腰三角形 APD, 并求出此时 BP的长 ; (2)如图 (2),在 ABc 中 ,ABc=60,Bc=12,AD 是 Bc边上的高 ,E,F分别为边 AB,Ac的中点 ,当 AD=6时 ,Bc边上存 在一点Q,使 EQF=90, 求此时 BQ的长 ; 问题解决 (3)有一山庄 ,它的平面图为如图 (3)的五边形 ABcDE,山庄保卫人员想在线段 cD上选一点 m安装监控装置 ,用来监视边 AB,现只要使 AmB 大约为 60, 就可以让监控装置的效果达到最佳 , 已知A=E=D=90,AB=270m,AE=400m,ED=285m,cD=340m, 问在线段 cD 上是否存在点 m,使 AmB=60? 若存在 ,请求出符合条件的 Dm的长 ,若不存在 ,请说明理由 . 9 / 21 (1) (第 2 题 ) 类型二 3.(XX江苏苏州 )如图 ,已知 o 上依次有 A,B,c,D四个点 ,=,连接 AB,AD,BD,弦 AB 不经过圆心 o,延长 AB 到 E,使BE=AB,连接 Ec,F是 Ec的中点 ,连接 BF. (1)若 o 的半径为 3,DAB=120, 求劣弧的长 ; (3)设 G是 BD的中点 ,探索 :在 o 上是否存在点 P(不同于点B),使得 PG=PF,并说明 PB 与 AE的位置关系 . (第 3 题 ) 4.(XX山东潍坊 )如图 ,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 c(0,4),与 x 轴交于点 A 和点 B,其中 点 A 的坐标为 (-2,0),抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D,与直线Bc交于点 E. (1)求抛物线的表达式 ; (2)若点 F 是直线 Bc 上方的抛物线上的一个动点 ,是否存在点 F 使四边形 ABFc 的面积为 17,若存在 ,求出点 F 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 ; 10 / 21 (3)平行于 DE的一条动直线 l与直线 Bc相交于点 P,与抛物线相交于点 Q,若以 D,E,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形 ,求点 P 的坐标 . (第 4 题 ) 参考答案 【真题精讲】 (2)存在 ,设 E(x,0),则 DE=x-1,cE=6-x, ADx 轴 ,Bcx 轴 , ADE=BcE=90. 连接 AE,BE, 所以 D 点的坐标为 (2,2). (3)符合条件的点 m 存在 .验证如下 :过点 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为为 c,则 Pc=2,Ac=2,由勾股定理 ,可得 AP=4,PB=4,又AB=4,所以 APB 是等边三角形 ,只要作 PAB 的平分线交抛物线于 m点 ,连接 Pm,Bm,由于 Am=Am,PAm=BAm,AB=AP, 可得 AmPAmB. 即存在这样的点 m,使 AmPAmB. (第 2 题 ) 11 / 21 3.(1) 抛物线 c1为 y=a(x+1)2-2 的顶点为 A, 点 A 的坐标为 (-1,-2). 抛物线 c1为 y=a(x+1)2-2 经过点 B(-2,-1), a( -2+1)2-2=-1. 解得 a=1. 抛物线 c1的表达式为 y=(x+1)2-2. (2) 抛物线 c2是由抛物线 c1向下平移 2 个单位所得 , 抛物线 c2的表达式为 y=(x+1)2-2-2=(x+1)2-4. 设直线 AB的表达式为 y=kx+b. c( -3,0),D(0,-3). oc=3,oD=3. 过点 A 作 AEx 轴 ,垂足为 E, 过点 A 作 AFy 轴 ,垂足为 F,如图 (1), (第 3 题 (1) A( -1,-2), AF=1,AE=2. SoAcSoAD= = =2. 12 / 21 tPQG,PHcQGH, PHcPQG,PHcQGH. 当 PHc=GHQ 时 , PHc+GHQ=180, PHc=GHQ=90. PoQ=90, HPc=90 -PQo=HGQ. PHcGHQ. QPo=oGc, tanQPo=tanoGc. oG=6. 点 G 的坐标为 (0,-6). 设直线 m 的表达式为 y=mx+n, 点 c(-3,0),点 G(0,-6)在直线 m 上 , E( -1,-4). 此时点 E 在顶点 ,符合条件 . 直线 m 的表达式为 y=-2x-6. 13 / 21 tancGotanQPo. cGoQPo. cGo=QGH, QGHQPo. 又 HQGQPo, PHc 与 GHQ 不相似 . 符合条件的直线 m 不存在 . t2 时 ,如图 (5)所示 . (第 3 题 (5) 此时点 E 在对称轴的右侧 . PcHcGo, PcHcGo. 当 QPc=cGo 时 , PHc=QHG,HPc=HGQ, PcHGQH. 符合条件的直线 m 存在 . 直线 m 的表达式为 y=2x+6. 综上所述 :存在直线 m,使直线 l,m与 x轴围成的三角形和直线 l,m与 y 轴围成的三角形相似 , 14 / 21 此时直线 m 的表达式为 y=-2x-6和 y=2x+6. 【课后精练】 x=0 时 ,y=. c(0,). 解得 x=1或 x=-3, A(1,0),B( -3,0). Bc=2. 设 P(-1,m),显然 PBPc, 所以 综上 , 当 PBc 为 等 腰 三 角 形 时 , 点 P 的 坐 标 为(-1,+),(-1,-),(-1,2),(-1,-2). (3)由 (2)知 Bc=2,Ac=2,AB=4, 所以 Bc2+Ac2=AB2,即 BcAc. 连接 Bc并延长至 B,使 Bc=Bc,连接 Bm,交直线 Ac于点 Q, B,B 关于直线 Ac对称 , QB =QB. QB+Qm=QB+Qm=mB. 又 Bm=2,所以此时 QBm 的周长最小 . 由 B(-3,0),c(0,),易得 B(3,2). 设直线 mB的表达式为 y=kx+n, 15 / 21 将 m(-2,),B(3,2)代入 , (第 1 题 ) 2.(1) 作 AD的垂直平分线交 Bc于点 P,如图 (1), (第 2 题 (1) 则 PA=PD. PAD 是等腰三角形 . 四边形 ABcD是矩形 , AB=Dc,B=c=90. PA=PD,AB=Dc, Rt ABPRtDcP(HL). BP=cP. Bc=4, BP=cP=2. 以点 D 为圆心 ,AD为半径画弧 ,交 Bc于点 P,如图 (1), 则 DA=DP. PAD 是等腰三角形 . 四边形 ABcD是矩形 , AD=Bc,AB=Dc,c=90. AB=3,Bc=4, 16 / 21 Dc=3,DP=4. cP=. BP=4 -. 以点 A 为圆心 ,AD为半径画弧 ,交 Bc于点 P, 如图 (1), 则 AD=AP. PAD 是等腰三角形 . 同理可得 BP=. 综上所述 ,在等腰三角形 ADP 中 , 若 PA=PD,则 BP=2. 若 DP=DA,则 BP=4-. 若 AP=AD,则 BP=. (2)E,F 分别为边 AB,Ac的中点 , EFBc,EF=Bc. Bc=12, EF=6. 以 EF为直径作 o, 过点 o作 oQBc, 垂足为 Q,连接 EQ,FQ,如图 (2). (第 2 题 (2) ADBc,AD=6, EF 与 Bc之间的距离为 3. oQ=3. 17 / 21 oQ=oE=3. o 与 Bc相切 ,切点为 Q. EF 为 o 的直径 , EQF=90 . 过点 E 作 EGBc, 垂足为 G,如图 (2). EGBc,oQBc, EGoQ. EoGQ,EGoQ,EGQ=90,oE=oQ, 四边形 oEGQ是正方形 . GQ=Eo=3,EG=oQ=3. B=60,EGB=90,EG=3, BG=. BQ=GQ+BG=3+. 当 EQF=90 时 ,BQ的长为 3+. (3)在线段 cD上存在点 m,使 AmB=60. 理由如下 : 以 AB 为边 ,在 AB 的右侧作等边三角形 ABG,作 GPAB, 垂足为 P,作 AkBG ,垂足为 k.设 GP 与 Ak 交于点 o,以点 o 为圆心 ,oA 为半径作 o, 过点 o 作