高考数学一轮复习(十三)二项式定理.doc

高中数学一轮复习（十三） 二项式定理1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。题型一：求二项展开式 1“”型的展开式例1求的展开式；解：原式= = 2 “”型的展开式 例2求的展开式；分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。 3二项式展开式的“逆用”例3计算；解：原式=题型二：求二项展开式的特定项 1.求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数例4展开式中的系数是解：= 令则，从而可以得到的系数为： （2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例5的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。 （3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6的展开式中，常数项是 ；解：，上述式子展开后常数项只有一项，即2.求中间项 例7求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为即：。当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。3.求有理项 例8求的展开式中有理项共有多少项？解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。4.求系数最大或最小项 （1）特殊的系数最大或最小问题 例9在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解： 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小 项的系数为 （2）一般的系数最大或最小问题 例10求展开式中系数最大的项；解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3）系数绝对值最大的项 例11在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4 项，和第5项。题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例12若，则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= 例13若， 则 ；解：， 令，有 令，有故原式= 例14设，则 ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：=0题型四：利用二项式定理求近似值 例15求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：= ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 =题型五：利用二项式定理证明整除问题 例16求证：能被7整除。 = =49P+（）又=（7+1）=7Q（Q） 能被7整除。练习题类型一：利用通项公式求展开式中某项的系数的问题1、在的展开式中，的系数是 。2、展开式中的系数为 。3、已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则cos= 。4、已知为实数，展开式中的系数是15，则= 。5、设常数0，展开式中的系数为，则（a + a2 + an）= 。6、若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）。7、（2x-1）6展开式中x2的系数为。（ ）A15 B60 C120 D2408、在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则（ ）A8B9C10D119、的展开式中项的系数是 。（用数字作答）10、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则= 。类型二：利用通项公式研究关于常数项的问题1、在的展开式中常数项是 。2、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（ ） A45 B45 C45 D453、的展开式中常数项是 。4、若的展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A8 B9 C10 D125、若的展开式中常数项为84，则n= 。6、的展开式中，常数项为，则（ ）A B C D7、的二项展开式中常数项是 （用数字作答）。8、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A10 B20 C30 D1209、的展开式中常数项是 。（用数字作答）10、展开式中的常数项是（ ）A36 B36 C84 D84类型三：利用通项公式研究展开式中特殊项的问题1、的展开式中含的正整数指数幂的项数是（ ） A0 B2 C4 D62、在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有（ ）A3项 B4项 C5项 D6项3、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ ） A4 B6 C8 D104、的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ） A4项 B3项 C2项 D1项5、对于二项式，四位同学作出了四种判断：存在，展开式中有常数项；对任意，展开式中没有常数项；对任意，展开式中没有的一次项；存在，展开式中有的一次项。上述判断中正确的是（ ） A B C D6、在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 。7、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）。类型四：利用赋值法解决的二项式问题1、若，则 。2、若，则的值为（ ） A1 B-1 C0 D23、若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A-540 B-162 C162 D5404、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ） A7 B-7 C21 D-215、已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中的系数是 。6、已知,则(的值等于 。7、设，则的值为（）8、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。(用数字作答)类型五：关于两个二项式相乘的问题1、在的展开式中，的系数是（ ） A-297 B-252 C297 D2072、的展开式中项的系数是 。3、在代数式（）（1+）5的展开式中，常数项为 。4、的展开式中的系数为 。5、在的展开式中，的系数是 。6、的展开式中整理后的常数项为 。7、的展开式中常数项为 。（用数字作答）8、的展开式中x的系数是（ ） A-4 B. -3 C. 3 D. 49、的展开式中的系数是（ ）A-4 B-3 C3 D4 10、已知的展开式中没有常数项，且2n8,则n=_ _。类型六：关于二项式定量的创新题目1、若多项式，则=（ ） A9 B10 C-9 D-102、在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为S，当时，S等于（ ） A23008 B-23008 C23009 D-230093、设，则= 。4、在的展开式中，含的项的系数是（ ） A