《不等式的证明（2）——综合法》说课

1 / 10 不等式的证明（ 2） 综合法说课 不等式的证明（ 2） 综合法说课 一、本节课在本章中的地位 综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。综合法从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立例如要证，我们从，得，移项得综合法的证明过程表现为一连串的 “ 因为 所以 ” ，可用一连串的 “” 来代替 综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法 分析法的思考过程的逆推 ，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。 二、本节课的教学重、难点 本节课的教学重点是运用综合法证明不等式。 教学难点是如何正确运用综合法证明不等式。用综合法证明不等式的逻辑关系是： (已知 ) (逐步推演不等式成立的必要条件 )( 结论 )即由此可见，综合法是 “ 由因导果 ” ，2 / 10 即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。难点突破方法：由于综合法不象比较法，它必须从某个不等式的性质和已经证明过的不等式出发，运用不等式的性质进行一系列的恒等变形，直到得出结论。因此要求学生对所学习的不等式的 5 个定理， 4 个推论和不等式平方不等式和均值定理必须熟悉，在进行教学时，首先要与学生一起回顾前面所学不等式性质、定理，并板书在黑板上，便于学生直接运用，从而节约学习时间；其次，用综合法进行不等式的证明时，通常要观察所证的不等式的结构，找出它与前面所学不 等式性质、定理在结构上的某些相似之处，所以又要注意引导学生学会从结构上进行观察，大胆猜测，小心求证，并以此为契机，复习掌握前面所学不等式性质、定理。三、教学过程设计 复习不等式的性质、平方不等式 如果 、均值定理 如果 a,b是正数，那么 、比较法证明不等式的步骤。 （说明复习两个不等式是为了例 1 的解决） 提出问题：例 1 已知 a， b， c 是不全相等的正数，求证： 让学生思考，本题如何证明？用比较法？ （提出问题让学生感知比较法进行证明时，作差后的变形是难点，有 没有其他更快的证明方法？当学生难于判断差与 0的关系时，认识到学习新方法的必要性，从而激发学生的求知欲。） 3 / 10 出示本节课课题 “ 不等式的证明（ 2） 综合法 ” 引导学生观察所要证明的不等式的结构，思维来自观察，培养学生的观察能力，而这正是综合法的要点，由结构大胆猜测。引导学生：从所要证的不等式的左边看，有三个单元结构，发现都有平方不等式的左边一样的结构，但右边系数是 6，且为三个字母之积，又如何变出来？能否试试给出证明？让学生通过自己运用所学知识，尝试，在尝试中学会知识，实践出真知 。 引导学生通过证明，总结这种方法与差比法证明不等式的区别在哪里？ 证明： 2bc,a 0, 2abc 同理 2abc 2abc 因为 a， b， c 不全相等，所以 2bc,2ca,2ab 三式不能全取 “=” 号，从而 、 、 三式也不能全取 “=” 号 注意： A、对于 “ 、 、 三式也不能全取 “=” 号 ” 一定要给出，否则结论应为； B、要提问学生 “a ， b， c 是的正数 ” 的含义。这是一个重要的条件， “ 不全相等 ” 与 “ 全不相等 ” 不一样，如全（都）不相等，则三个不等式中都没有 “=” 号。 4 / 10 c、本题的关键在哪里？ 从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立。用综合法证明不等式的逻辑关系是： (已知 ) (逐步推演不等式成立的必要条件 )( 结论 )即由此可见，综合法是 “ 由因导果 ” ，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。 课堂练习。 “ 学而时习之，不亦乐乎 ” ，通过再一次实践，完成课本练习，在证明时，提醒学生首先要观察不等式的结构，选择出发点，一步一步向目标靠近。抽学生到黑板上板演，通过 学生的解答发现问题，总结经验。 补充例题。由于课本上例题以及练习都比较单一，用简单的综合法即可得到，但在不等式的证明中，有时要综合运用几种方法才可证明，而不是只用单一的方法。因此补充是必要的。例 2 已知 a， b， c 都是正数，且 a， b， c 成等比数列， 求证： 分析：本题所要证明的不等式的结构与例 1 不一样，右边也看不到平方不等式的相同结构之处。可以先考虑作差；如何判断，差的结果与 0 的关系？注意 “a ， b， c 成等比数列 ”可以得出什么信息？。 证明：左右 =（需证明差与 0 的关系） a ， b， c 成等比数列， （说明：，关键要证明） 5 / 10 又 a ， b， c 都是正数，所以 （又用到成等比数列和均值定理的变形） 反思：此题在证明过程中运用了差比法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点，还告诉我们在证明不等式时，并不一定只用到一种单一的方法，而是要采用所学知识，将理由说明清楚。 课堂小结：通过本节学习，要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立，进而掌握综合法证明不 等式。 课外作业： 教学中的注意点：启发、引导学生观察、让学生多动手、动脑；先做后说，学习总结经验，上升理论，升华思维。 6 / 10 7 / 10 （第课时） 不等式的证明（ 2） 教学时间：月日 教学目的： 1 掌握综合法证明不等式； 2 熟练掌握已学的重要不等式； 3增强学生的逻辑推理能力教学重点：综合法 教学难点：不等式性质的综合运用授课类型：新授课 教学过程： A、复习引入： 1重要不等式： 如果 2定理：如果 a,b 是正数，那么 8 / 10 3 公式的等价变形： ab ， ab （） 24 2 （ ab 0），当且仅当 a b 时取 “ ” 号； 5比较法之一（作差法）步骤：作差 变形 判断与 0 的关系 结论 比较法之二（作商法）步骤：作商 变形 判断与 1 的关系 结论 B、讲解新课： 1综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 c、讲解范例： 例 1 已知 a， b， c 是不全相等的正数，求证： 分析：由左边每个括号内容联想平方不等式，从基础不等式出发，通过推理得到所要证的不等式，这就是综合法的特征。 证明： 2bc,a 0, 2abc 同理 2abc 2abc 9 / 10 因为 a， b， c 不全相等，所以 2bc,2ca,2ab 三式不能全取 “=” 号，从而 、 、 三式也不能全取 “=” 号 例 2 已知 a， b， c 都是正数，且 a， b， c 成等比数列， 求证： 证明：左右 = a ， b， c 成等比数列， 又 a ， b， c 都是正数，所以 说明：此题在证明过程中运用了差比法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点 D、课堂练习： 1设 a,b,cÎR， 1 求证： 2 求证： 3 若 a+b=1,求证： 证： 1 2 同理：， 三式相加： 3 由幂平均不等式： 10 / 10 2 a,b,c&Ici