不动点与数列不等式问题.doc

4 不动点与数列不等式问题在历届高考试题中，求数列的通项或证明数列不等式的内容，占有一定的篇幅在文献12中研究探讨了高考题中涉及到递推数列的一类不等式问题，把近几年高考数学中出现的这类试题概括在下列两个命题中：命题212 设在上连续，在上可导，且，数列满足，则，命题312 设在上连续，在上可导，且， ，数列满足，则，利用上述两个命题，把2005年江西卷、2006年陕西卷、2006年湖南卷、1986年全国卷、2007年广东卷以及文献13-15中等诸多同类试题或例题进行了统一处理，这些试题往往与递推函数的不动点相关联事实上，还有一种类型的递推数列不等式问题，它涉及到两个递推数列，联系它们的是迭代函数具有公共的不动点，上面命题2或命题3就显得无能为力了下面我们以2007年全国高考数学（理科）第22题为例，结合不动点思想，用三种方法给出它的另解，以揭示这类问题的一些处理方法例8 (2007年全国高考理科卷第22题) 已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，参考答案中求出了的通项公式，然后用数学归纳法证明了不等式，本题中第（）部分较为简单，难点是第（）部分中关于不等式的证明，参考答案中用数学归纳法先后证明了不等式与，其中不等式容易证明，但要进一步得到却比较困难下面将利用不动点思想，给出三种不同于参考答案的方法解法1 （）（略）；（） 考虑的迭代函数，易知满足，由于，注意到，则由，即，即，用归纳法易证，设，则， 欲证，只需证明，为此考虑的迭代函数，由于，而，故记，下面用数学归纳法证明，当时成立，假设，则，又由，即，于是，即得，结论得证解法2 （）（略）；（）利用不动点求出的通项公式：考虑函数的不动点，即方程的两个解与，则，它们之比为，反复利用此式，得，于是的通项为显然，而等价于，即，该不等式对一切均成立，故结论得证解法3 （） （略）；（），利用此式用数学归纳法不难证明，由（）中结论，欲证明，即证，亦即证，也就是令，则只需证，易知，只需证，利用分析法：，得证通过解法1得到启示，我们可以把该结果推广为：定理4 设在上可导，且，数列、分别满足，则，证明首先证明，：对，由，得，又由，得，即得，故有，于是，同理，有下面用数学归纳法证明：当时，因为，所以，结论成立假设当时，结论成立，即则当时，即得，设，则，于是也就是说，当时，有，定理得证注4如果函数满足，称为函数的不动点定理4揭示了一类由两个具有公共不动点的迭代函数构造的数列的不等式关系21（2006年陕西卷）已知函数且存在使（I）证明：是R上的单调增函数；设其中（II）证明：（III）证明：21.解: （I）f (x)=3x22x+ = 3(x)2+ 0 , f(x)是R上的单调增函数.（II）0x0 , 即x1x0y1.又f(x)是增函数, f(x1)f(x0)f(y1).即x2x00 =x1, y2=f(y1)=f()=y1,综上, x1x2x0y2y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk . 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1,2,都有xnxn+1x0yn+1yn.（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ =(yn+xn)2+ . 由()知 0yn+xn1. yn+xn , ()2+ = 19. ( 2006年湖南卷）（本小题满分14分）已知函数,数列满足:证明: （I）;（II）.证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故09年）21（本小题满分14分）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 21（本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.21解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）