不等式教案

1 / 7 不等式教案 莲山课 件 m1、 (、 )。 2、 (、 ,)(当且仅当时取等号 )。 3、若、且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数 ,值变大 )。 4、若、且 ,则。 5、。 6、一个重要的均值不等式链 :设 ,则有 (当且仅当时取等号 )。 7、若已知条件中含有或隐含着 或 这一信息 ,常常可以设用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。 8、不等式证明常用的放缩方法 : (1); (2)。 七、解析几何 : 1、两条平行直线和之间的距离为。 2、直线过定点 ,且点在圆内 ,则与圆必相交 。 过圆内一点的弦长 ,以直径为最大 ,垂直于 (为圆心 )的弦为最小。 3、直线在轴、轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。 4、直线过定点时 ,根据情况有时可设其方程为 (时直线 )应用2 / 7 点斜式解题 ,应检验直线斜率不存在的情况。 5、已知圆的方程是和点 ,若点是圆上的点 ,则方程表示过点的圆的切线方程 ;若点在圆外 ,则方程表示过点向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程 (又称切点弦方程 )。 6、过圆上一点的圆的切线方程是 : 。 7、圆和相交于、两点 ,则直线为这两圆的 根轴 ,其方程为(即为公共弦所在的直线方 程。利用此法 ,可以推导圆的切点弦方程 )。 8、已知一个圆的直径端点是、 ,则圆的方程是 : 。 9、给一定点和椭圆 :,、分别为左右焦点 ,有如下性质 : (1)若点在椭圆上 ,则 ,(由椭圆第二定义推出 ); (2)若点在椭圆上 ,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为 :; (3)若点在椭圆外 ,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为 :; (4)若点在椭圆内 ,则这一点对应的椭圆的极线可表示为 :; 补充 :直线与椭圆相切的充要条件是 : 。 10、三种圆锥曲线的通径 (通径是最短的焦点弦 ): (1)椭圆的通径长为 ; (2)双曲线的通径长为 ; (3)抛物线的通径长为。 3 / 7 11、双曲线的焦半径公式 :点为双曲线上任意一点 ,、分别为左右焦点 (1)若在右支上 ,则 ,; (2)若在左支上 ,则 ,。 12、双曲线标准方程 (焦点在轴或轴上 )的统一形式为 (),双曲线的渐近线方程为 ,也可记作。 13、过抛物线的焦点且倾斜角为的弦 ,时 ,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。 14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦 : (1)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦过定点 ; (2)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦 ,点分别为的中点 ,则直线过 定点 ; (3)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦 ,则弦过定点 ; (4)过椭圆的中心作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦 AB 的距离为定值 :,且 (此时弦 AB 最短 ),(此时弦 AB 最长 ); (5)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的弦 ,则弦 mN 过定点 :; (6)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦 ,点分别为的中点 ,则直线 mN 过定点 :; (7)过双曲线的中心作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦 AB 的距离为定值 :; 15、过抛物线上一点的焦半径 ;若、是过焦点弦的端点 ,则 : (1),; 4 / 7 (2); (3)(为直线与轴的夹角 ); (4)若、在准线上的射影分别为、 ,则 ; (5)以焦点弦为直径的圆与准线相切 ,切点为的中点 ; (6)以焦半径为直径的圆与轴相切 ; (7)以为直径的圆与焦点弦相切 ,切点为焦点 F; 16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线 ,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线的对称轴上任意一点作抛物线的切线 ,切点分别为、 ,则直线过定点。 17、由抛物线焦点发出的光线 ,经过抛物线上一点反射后 ,反射光线平行抛物线的轴。 18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为为参数 )。 19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。 20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截 ,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。 21、点与圆锥曲线的位置关系 : (1)若点在抛物线内部 ,则。 若点在抛物线外部 ,则 ; (2)若点在内部 ,则。 若点在外部 ,则 ; 5 / 7 (3)双曲线内的点 (指点在双曲线弧内 ),满足 ; 双曲线外的点 (指点在双曲线弧外 ),满足。 22、若直线与二次曲线交于、两点 ,则由 : ,知直线与二次曲线相交所截得的弦长 : 其中 (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需 要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用 点差法 )。 23、中心在原点的椭圆、双曲线方程 (焦点位置不定 )可设为(其中且时为椭圆 ,时为双曲线 )。 24、圆锥曲线的参数方程 : (1)椭圆的参数方程为 (为参数 ); (2)双曲线的参数方程为 (为参数 ); (3)抛物线的参数方程为 (为参数 )。 25、若为椭圆上任一点 ,、为焦点 ,为短轴的一个端点 ,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理 )。 26、与直线平行的直线系方程为 (参数 ); 与直线垂直的直线系方程为 (为参数 )。 27、共离心率的椭圆系方程为 (为参数 )。椭圆的离心率越接近 1,椭圆越扁 ;椭圆的离心率越接近于 0,椭圆就接近于圆。可以概括为 :椭圆的离心率越大 ,椭圆越扁。 28、共渐近线的双曲线系方程为 (为参数 )。 29、设是椭圆上的任意一点 (不在长轴上 ),、为左右焦点 ,6 / 7 则称为焦点三角形 ,该三角形有如下性质 : (1)离心率 :; (2)面积 :; (3)旁切球 :左右两个旁切球的球心都在直线上 ; (4)设其内心为 ,连接 PI 并延长交长轴于点 m,则有 :; (5)当且仅当点 P 在短轴端点时 ,最大 ,也最大。 30、设是双曲线上的任意一点 (不在实轴上 ),、为左右焦点 ,则的面积为。 31、椭圆内接三角形 ,四边形的面积最大问题 (1)椭圆内接三角形面积的最大值为 :(当且仅当三角形的重心为椭圆的中心 ); (2)椭圆内接四边形面积的最大值为 :(当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径 ) 32、设 m,N 为椭圆上关于原点中心对称的两点 ,P 为椭圆上异于 m,N 的任意一点 ,则。 (双曲线中为 :) 33、已知两点、及直线 (1)若点、在直线的同侧 ,则。 (2)若点、在直线的异侧 ,则。 34、已知点、及直线 ,点关于直线的对称点为 ,则有其中 35、在线性规 划中 , (1)对形如型的目标函数 ,可变形为 ,看做直线在轴上的截距 ,问题转化为求纵截距范围或 7 / 7 (2)对形如型的目标函数 ,变形为的形式 ,将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围 ; (3)对形如型的目标函数 ,可化为的形式 ,将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值。 36、在圆锥曲线中 ,求形如 (是圆锥