xt4实变函数与泛函分析习题.pdf

134 习习 题题 四四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 ),(FX的. 1. 设 A fd 6. 证 明 :).i (设f为 可 测 函 数. 若 对 每 个 可 测 集,A 均有, 0 A dxf 则 a.e.0f ).ii( 设f和g是 可 积 函 数 并 且 对 任 意 可 测 集A, 成 立 = AA gdfd. 则a.e.gf = 7. 设)( n f为可积函数列, f为可测函数. 若 . 0 lim= dffn n 则f可积. 8. 设) 1(,nff n 为 可 测 函 数 . 若, 0lim= dffn n 则. ffn 9. 设f为有限测度空间上的可测函数. 则f可积的充要条件是对任给的 135 , 0 存在, 0k 使得 . kf df 提示: 利用积分的绝对连续性. 10. 设f为可测函数. 证明f可积的必有条件是 .)1( 1 + =n nfnn 当+)(X时, 上述条件也是充分条件. 11. 若f为可积函数. 则 . 0 )(lim= + nfn n 12. 设f为有限测度空间上的可测函数. 则f可积的充要条件是 .)( 1 + 使得 . 0 ,)( M f 证明f可积. 15. 设) 1(,nff n 为 可 积 函 数 . 若 对 每 个 可 测 集A均 有 , 1, 1 + ndfdf A n A n 并且 = +AA n n dfdf,lim 则. a.e. ffn 16. 设) 1(,nff n 为可测函数. a.e. ffn 若 + ,sup 1 dfn n 则 f 可积. 17. 设) 1(,nff n 为 可 测 函 数 , . a.e. ffn 若 存 在 可 积 函 数 g , 使 得 1),a.e.( ngfn 则 . 0 lim= + dffn n 18. 设 n f是可测函数列, 并且 = + 1 . n nd f 则 =1n n f可积, 并且 . 11 = = = n n n n dfdf 19. 设) 1(,nff n 为非负可测函数列, . ffn 证明 .limdfdf n n 136 20. 设级数 =1n n a绝对收敛. 证明 =1n n a可以表示成),(,(NNP上一个可积函数 的积分. 21. 设) 1(,nff n 为非负可积函数, 满足, a.e. ffn = + ,limdfdfn n . 证明: 对任意可测集,XE 成立 = +EE n n dfdf.lim 提示: 注意).1(20+nfffff nn 22. 举例说明在 Fatou 引理中, 不等号可能成立. 23. 设 n A是一列可测集并且.)( 1 + =n n A 证明对几乎所有,Xx x只属 于有限个. n A 24. 设 f 是有限测度空间X上的可测函数, .,)(Xxdxfc对任意, 1n 设dyyyc n =L 10 将,dc分成n个长度相等的小区间. 证明 .)(lim 1 11 = 为何值时, 函数 x x xf sin )(=在), 1 +上是 L 可积的. 32. 设K为 1, 0中的 Cantor 集. 当Kx时定义,)( 2 xxf= 当x属于K 1, 0 中长为 n 3 1 的开区间时定义. 2 1 )( n xf= 计算.)( 1 0 dxxf 33. 设f和g在,ba上 Riemann 可积, 并且在,ba的一个稠密子集上相等. 证 明f和g在,ba上积分相等. 34. 设f是 1 R上的 L 可积函数, , 0)0(=f )0( f 存在并且有限. 证明 x xf)( 在 1 R上是 L 可积的. 35. 计算,)( 1 0 dxxf 其中 = . , 1 )( 3 为无理数若 为有理数若 x x xx xf 36. 设f是 1, 0上的单调增加函数, E是 1, 0中的 L 可测集并且.)(tEm= 证 明.)()( 0 E t dxxfdxxf 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 = = 1 0 1 2 . ) 12( 1 ) 1( arctg n n n dx x x 38. 设,) 1()( 1n xf n+ =, 2, 1, 1 1 1 L= + n n x n . 0 )0(=f 证明f在 1, 0 上是广义 Riemann 可积的, 但不是 Lebesgue 可积的. 39. 设 , b ca ).()( ), xIxF c + = 又设f是,ba上的有界实值函数. 证明在 ,ba上关于F L-S 可积当且仅当f在cx =连续. 并且当f在cx =连续时, = b a cfxdFxf).()()( 40. 设f在,hbha+是 Lebesgue 可积的. 证明 . 0 )()(lim 0 =+ b at dxxftxf 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设f是 1 R上的 L 可积函数, g是 1 R上的有界 L 可测函数. 证明函数 ,)()()( 1 += R dxxgtxftI t. 1 R 138 是 1 R上的连续函数. 42. 设f是 1 R上的可积函数, 并且对任意具有紧支集的连续函数g, 有 . 0)()( 1 = R dxxgxf 证明0=fa.e. 43. 设., 1,XxnYXEFE n 证明 .)()2( .)()() 1 ( 11 xxx n xnx n n FEFE EE = = = = UU 44. 设),(AX和),(BY是两个可测空间, )(xf和)(yg分别是),(AX和 ),(BY上的可测函数. 证明)()(),(ygxfyxh=是),(BAYX上的可测函数. 45. 设),(FX是一完备的有限的测度空间, ),(,( 11 mRRM是一维 L 测度空间, ),(txf是), 1 mX m MR(上的可测函数. 若对几乎所有t 1 R, ), ( tf 是a.e.有 限的, 则对几乎所有Xx, ),(xf是a.e.m有限的. 提 示 : 令,),(: ),(+=txftxA则.),(: x Axtft=+= 考 虑 ).)(Am 46. 设),(AX和),(BY是两个可测空间, 是),(BAYX上的测度.令 .),()( 1 A=AYAA 证明: (1) 1 是),(AX上的测度. (2) 若)(xf是),(AX上的可积函数, 则 .)()( 1 = YXX dxfdxf 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设)(xf和)(yg分 别 是有 限 测 度 空 间),(AX和 ),(BY上的可积函数.证明)()(),(ygxfyxh=是),(BAYX上的可积函 数, 并且 = . 2121 )( YXYX dgdfdh. 48. 用 Fubini 定理证明当0 mn a或者 = = + 11nm mn a时,成立 . 1111 = = = = = mn mn nm mn aa 49. 证明. 2)1)(1 ( 2 ), 0), 0 2 = + + yxy dxdy 50. 计算).0( 1 )( 0 22 baxd x eeI bxax M和 , 10 证明f在E上 L 可积. 56. 设f是 1 R上的 L 可积函数, . 0 证明a.e.0)( 1 nxf n 提示: 先证明.)( 1 1 1 = + kf n n k n df 证明: n f是一致可积的当且仅当 n f满足 ).i ( n f是一致积分绝对连续的, 即对任意, 0 存在, 0 使得当,FA )(A时, 成立. ) 1( A n ndf ).ii( n f是一致积分有界的, 即.sup 1 +p使得 + .sup 1 df p n n 则 n f是一致可积的. 60. 设+)(X, n f是可积函数列, f为可测函数. 证明: ).i (若 n f是 一 致 可 积 的 并 且, ffn 则f是 可 积 的 并 且 = . 0 lim