初中三角函数总结

1 / 54 初中三角函数总结 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在 RtABC 中， C 为直角，则 A 的锐角三角函数为 (A 可换成 B) ： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 由 ?A?B?90? 得 ?B?90?A对边 C 邻边 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 2 / 54 5、 0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值 (重要 ) 6、正弦、余弦的增减性： 当 0 ?90 时， sin?随 ?的增大而增大， cos?随 ?的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 1 、解直角三角形的定义：已知边和角 所有未知的边和角。 依据： 边的关系： a2?b2?c2； 角的关系： A+B=90 ； 边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 h 3 / 54 i?h:l (2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i? h 。坡度一般写成 1:m的形式，如 l i?1:5等。 把坡面与水平面的夹角记作 ?(叫做坡角 )，那么 i? h ?tan?。 l 3、从某点的指北方向按顺时针 转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45 、135 、 225 。 4 / 54 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC、 OD的方向角分别是：北偏东 30 ， 南偏东 45 ， 南偏西 60 ， 北偏西60 。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 1、解析式： y? k ?k?0? x ?1 其他形式： xy?k y?kx 例 1下列等式中，哪些是反比例函数 y? x5312 y?xy 21y?y?y?3 y x 4 3x?22xxx 5 / 54 3?m2 例 2.当 m取什么值时，函数 y?(m?2)x 例 3若函数 y?(2m?1)x m2?2 是反比例函数？ 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，则 m 的值是_ 例 4已知函数 y y1 y2， y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，且当 x 1时， y 4；当 x 2 时， y 5 求 y 与 x 的函数关系式 当 x 2 时，求函数 y 的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足： xy?k 例 1已知反比例函数的图象经过点和则 m 的值为 例2下列函数中，图像过点 M的反比例函数解析式是 ( ) 6 / 54 2112 ? ? ? xx2x2x k 例 3.如果点在反比例函数 y?的图象上，那 么下列各点中，在此图象上的是 ? A. B. C. D. 例 4.如果反比例函数 y? k 的图象经过点，那么函数的图象应在 x A 第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、7 / 54 基础知识 k?0 时，图像在一、三象限，在每一个象限内， y 随着 x 的增大而减小； k?0 时 ，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着 x的增大而增大； 例 1.已知反比例函数 y?(a?2)x例 2已知反比例函数 y? a2?6 ，当 x?0时， y随 x 的增大而增大，求函 数关系式 2k?1 的图象在每个象限内函数值 y随自变量 x 的增大而减小，且k 的值还满足 x 9?2(2k?1)2k 1，若 k为整数，求反比例函数的解析式 2、面积问题 1k 21 8 / 54 例 1.如图，过反比例函数 y?的图象上任意两点 A、 B 分别作x x 三角形面积： S?AOB? 垂足分别为 C、 D，连接 OA、 OB，设 AOC 和 BOD 的面积分别是 S1、 S2的大小，可得 S1 S2 S1 S2 S1 S2 大小关系不能确定 x y? 例 2.如图，点 P是反比例函数 1 9 / 54 x 的图象上任一点， PA垂直在 x轴，垂足为 A， 设 ?OAP 的面积为 S，则 S 的值为 例 3直线OA与反比例函数 的图象在第一象限交于 A 点， ABx 轴 于点 B，若 OAB 的面积为 2，则 k . 例 4如图，若点 A 在反比例函数 y? k (k?0)的图象上， AM?x轴于点 M， x AMO 的面积为 3，则 k? 例 5 如 图 ， 在 x 轴 的 正 半 轴 上 依 次 截 取OA1?A1A2?A2A3?A3A4?A4A5，过点 2xy?分别作轴的垂线与反比例函数的 A1、 A2、 A、 A、 A?x?0?10 / 54 的图象相交于点 345 x 并设 其面积分别 P1、 P2、 P3、 P4、 P5，得直角三角形 OPA11、A1P2A2、 A2P3A3、 A3P4A4、 A4P5A5， 为 S1、 S2、 S3、 S4、 S5，则 S5 的值为例 6如图， A、 B 是函数 y? 2 的图象上关于原点对称的任意两点， BCx 轴， ACyx 轴， ABC 的面积记为 S，则 A S?2 B S?4 C 2?S?4 D S?4 矩形面积： S矩形 OBAC ?k 11 / 54 例 1如图， P是反比例函数 y? k (k?0)图象上的一点，由 P 分别向 x 轴和 y轴引垂 x 线，阴影部分面积为 3，则 k= 。 例 2如图，已知点 C为反比例函数 y? 6 上的一点，过点 C 向坐标轴引垂线，垂足 x 分别为 A、 B，那么四边形 AOBC的面积为 例 3如图，点 A、 B 是双曲线 y? 3 上的点，分别经过 A、 B两点向 x轴、 y轴 x 12 / 54 作垂线段，若 S阴影 ?1则 S1?S2? ， 例 4、如图，矩形 AOCB 的两边 OC， OA 分别位于 x 轴， y 轴上，点 B 20 ， 3 5）， D 是 AB 边上的一点，将 ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是 _ 例 5.两个反比例函数 y= k1k 和 y=在第一象限内的图像如图 3所示， ?点 P 在 y=的图 xxx 像上， PCx 轴于点 C，交 y= 11的图像于点 A， PDy 轴于点 D，交 y=的图像于点 B， xx 13 / 54 ?当点 P在 y= k 的图像上运动时，以下结论： x ODB 与 OCA 的面积相等； 四边形 PAOB的面积不会发生变化； PA 与 PB始终相等 当点 A 是 PC的中点时，点 B一定是 PD的中点 其中一定正确的是 _ 3.利用图像比较大小问题 比较点的坐标大小 k2?1 例 1已知点、在双曲线 y?上，则下列关系式正确的是 x 14 / 54 y1 y2 y3 y1 y3 y2 y2 y1 y3 y3y1 y2 例 2已知三点 P， y1)， P2(x2， y2)， P3(1， ?2)都在反比例函数 1(x1 y? k x 的图象上，若 x1?0， x2?0，则下 列式子正确的是 A y1?y2?0 B y1?0?y2 C y1?y2?0 D y1?0?y2 例 3反比例函数 y? 15 / 54 2 ，当 x 2 时 ， y x 2 时； y的取值范围是； x 当 x 2时； y的取值范围是 例 4.点 A(2， 1)在反比例函数 y? k 的图像上，当 1 x 4 时， y的取值范围是 . x 1 的图象上，则当 x1、 x2满足 _时， y1 y2. 2x 例 5若 A(x1， y1)、 B(x2， y2)在函数 y? 例 6在反比例函数 y?值范围是 A、 m?0 B、 m?0 C、 m?例 7、已知反比例函数 y? 16 / 54 1?2m 的图象上有两点 A?x1,y1?， B?x2,y2?，当 x1?0?x2 时，有y1?y2，则 m 的取 x 11 D、 m? 22 k (k?0)的图像上有两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1?x2，则 y1?y2 的值是 x A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定 比较函数值大小 例 1如 图是一次函数 y1=kx+b和反比例函数 y2= m 的图象，观察图象写出 y1 y2时， x 17 / 54 x 的取值范围 例 2如图 ,一次函数 = 1 与反比例函数 =2),则使的的取值范围是 A. 2 B. 2 或 1 0 C. 1 2 D. 2 或 1 的图像交于点 A(2,1),B( 1, 三、 反比例函数与一次函数的综合题 在同一坐标系中的图像问题 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直 角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边c 的平方。 2 3 18 / 54 由 ?A?B?90? 得 ?B?90?A 对边 邻边 5、 30 、 45 、 6 当 0?90 时， sin?随 ?的增大而增大， cos?随 ?的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当 0 1 、解直角三角形的定义：已知边和角 所有未知的边和角。 依据： 边的关系： a2?b2?c2； 角的关系： A+B=90 ； 边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下19 / 54 方的角。 - 1 - 1 h i?h:l h。坡度一般写成 1:ml (2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i?的形式，如 i?1:5等。 h ?tan?。 l 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45 、135 、 225 。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平20 / 54 角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC、 OD的方向角分别是：北偏东 30 ， 南偏东 45 ， 南偏西 60 ， 北偏西60 。 把坡面与水平面的夹角记作 ?(叫做坡角 )，那么 i? 3 例 1：已知在 RtABC 中， ?C?90 ， sinA?，则 tanB 的值为 5 4453A B C D 3544 ab ， tanB?ca 3b4x4 21 / 54 和 a2?b2?c2；由 s 如果设 a?3x，则 c?5x，结合 a2?b2?c2 得b?4x； tanB?niA? 知， ?， 5a3x3 【解析】本题考查三角函数的定义和 勾股定理，在 RTABC中， C=90 ，则 sinA? 所以选 A 例 2 ： 4cos30?sin60?(?2)?1?XX)0=_ 【解析】本题考查特殊角的三角函数值零指数幂负整数指数幂的有关运算， 4cos30?sin60?(?2)?1? XX)0=4? 22 / 54 ?1?33 ?1?，故填 22?2?22 1. 某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角不能大于 60 ，否则就有危险，那么梯子的长至少为 A 8米 - 2 - 2 B C 23 / 54 3 D 米 3 2. 一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40 ，则梯子底端到墙的距离为 55 A 5sin40 B 5cos40 C D tan40cos40 3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中24 / 54 AB、 CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ABC=150 ，BC的长是 8m，则乘电梯从点 B到点 C 上升的高度 h 是 A 4 m D C 8 m 4. 河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 面的铅直高度 BC与水平宽度 AC之比），则 AC的长是 A 25 / 54 米 B 10米 C 15米 D 5如图，在矩形 ABCD中， DEAC 于 E， EDCEDA=13 ，且 AC=10，则 DE 的长度是 A 3 B 5 C 52 D 2 52 6. 如图所示 ,小明在家里楼顶上的点 A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60 ，在点 A 处看这栋 电梯楼底部点 C处的俯角为 45 ，两栋楼之间的距离为 30m，则电梯楼的高BC为 米 . 26 / 54 ） 7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的俯 角为 30 ，看这栋大楼底部 C 的俯角为 60 ，热气球 A 的高度为 240米，求这栋大楼的高度 . 解：过点 A作直线 BC的垂线，垂足为点 D. 则 ?CDA?90 ， ?CAD?60 ， ?BAD?30 ， CD=240米 . ACD 在 RtACD 中， tan?CAD?， B 27 / 54 AD - 3 - 3 ?AD? CD? tan60 在 RtABD 中， tan?BAD? ?BD?ADtan30?BD ， AD ?80. ?BC?CD?BD?240?80=160. 答：这栋大楼的高为160米 . 28 / 54 8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45 降为 30 ，已知原滑滑板 AB的长为4 米，点 D、 B、 C 在同一水平面上 改善后滑滑板会加长多少米？ 若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由 解：在 RtABC 中， ABC=45 AC=BC=ABsin45=4? 2 ?22 2 在 RtADC 中， ADC=30 29 / 54 AC1 AD= ?22?42 o 2sin30 AD -AB=42?4? 改善后滑滑板会加长约米 . 这样改造能行，理由如下： CD? AC3 ?22?26? 3tan30o BD?CD?BC?26?22? 3 这样改造能行 . ?1? 30 / 54 ?6 9 求值 |2|?2016?3tan301. 解：原式 = 21?3?3?3?3? ?1 ?1? 2sin60?3tan30?(?1)2016 ?3? 10. 计算： 2.原式 =2? 31 / 54 - 4 - 4 ?3?1?1=0 23 锐角三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在 RtABC 中， C 为直角，则 A 的锐角三角函数为 (A 可换成 B) ： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 由 ?A?B?90?得 ?B?90?A 32 / 54 对 边 C 邻边 4、任意锐角的正切值等于它的余 角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 由 ?A?B?90?得 ?B?90?A 5、 0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值 (重要 ) 6、正弦、余弦的增减性： 当 0?90 时， sin?随 ?的增大而增大， cos?随 ?的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 1 、解直角三角形的定义：已知边和角 所有未知的边和角。 33 / 54 依据： 边的关系： a2?b2?c2； 角的关系： A+B=90 ； 边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 h i?h:l l hl (2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i?形式，如 i?1:5 等。 34 / 54 把坡面与水平面的夹角记作 ?(叫做坡角 )，那么 i? hl ?tan?。 。坡度一般写成 1:m的 3、从 某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45 、135 、 225 。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC、 OD的方向角分别是：北偏东 30 ， 南偏东 45 ， 南偏西 60 ， 北偏西60 。 5、已知一个三角函数值，求其他三角函数值。 例： sinA? 25 ,则 cosA,tanA,cotA 35 / 54 6、三角形面积公式： s? 12ah? 12 abcosC 另附习题： 1、计算 22 sin45+sin60 -2cos45 ； (1+2)0- 1-sin30 1+( 11? 36 / 54 54 12 )-1； sin60+ 11?tan60? -30 ； 2-(XX+) -cos60 -. 2 2 、计算： tan1tan2tan3tan88tan89 已知 sin+cos= 值 ，求 sincos 的 为锐角，若 sin 32 37 / 54 ,求 的范围 为锐角，若 cos 32 ,求 的范围 已知 45 2 、已知方程 x2?5xsin?1? 0 的一个根为 2?为锐角，求 tan?的值 3 、在 Rt?ABC 中， ?C 90。， b:a?1: cosB?_,cotB?_. 5、已知 ?为锐角，下列结论：正确的有 sin?cos?1 如果 ?，那么 s 如果 cos?45?in?cos? 12 ，那么 ?60? 38 / 54 2( sin?1)?1?sin? A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 6、与其他知识点的结合如图 3， O 是 ABC 的外接圆， AD是 O 的直径，若 O 的半径是 A 23 32 ， AC=2，则 sinB的值是 D 43 B C 34 39 / 54 7、实际应用如图 7， AB， DC分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBC ， DCBC ，从点 B 测得点 D 的仰角 为 60 ，从 点A 测得点 D 的仰角 为 30 ，已知甲建筑物高 AB=36m。 求乙建筑物的高 DC； 求甲、乙两建筑物之间的距离 BC 8、如图 9，如图，斜坡 AC 的坡度为 1:3， AC 10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB 14米 试求旗杆 BC的高度 9、 (2016 中山 )如图所示， A、 B 两城市相距 100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路，经测量，森林保护中心P 在 A 城市的北偏东 30 和 B 城市的北偏西 45 的方向上 . 已知森林保护区的范围在以 P点为圆心， 50km 为半径的圆形区域内 . 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 . 为什么？ 初三下学期锐角三角函数知识点总结 40 / 54 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在 RtABC 中， C 为直角，则 A 的锐角三角函数为 (A 可换成 B) ： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 由 ?A?B?90?得 ?B?90?A 对边 C 邻边 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 由 ?A?B?90?得 ?B?90?A 5、 0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值 (重要 ) 41 / 54 6、正弦、余弦的增减性： 当 0?90 时， sin?随 ?的增大而增大， cos?随 ?的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 1 、解直角三角形的定义：已知边和角 所有未知 的边和角。 依据： 边的关系： a2?b2?c2； 角的关系： A+B=90 ； 边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 h i?h:l 42 / 54 l hl (2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i?一般写成 1:m 的形式，如 i?1:5 等。 把坡面与水平面的夹角记作 ?(叫做坡角 )，那么 i? hl?tan? 。坡度 。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45 、135 、 225 。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC、 OD的方向角分别是：北偏东 30 ， 南偏东 45 ， 43 / 54 南偏西 60 ， 北偏西 60 。 锐角三角 函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在 RtABC 中， C 为直角，则 A 的锐角三角函数为 (A 可换成 B) ： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 由 ?A?B?90?对得 ?B?90?A 边 C 邻边 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 由 ?A?B?90? 44 / 54 得 ?B?90?A 5、 0 、 30 、 45 、 60 、 90 特殊角的三角函数值 (重要 ) 6、正弦、余弦的增减性： 当 0?90 时， sin?随 ?的增大而增大， cos?随 ?的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 8 、解直角三角形的定义：已知边和角 所有未知的边和角。 依据： 边的关系： a2?b2?c2； 角的关系：A+B=90 ； 边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 9、应用举例： (1)仰角：视 线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 h 45 / 54 i?h:l (2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i?写成 1:m 的形式，如 i?1:5等。 把坡面与水平面的夹角记作 ?(叫做坡角 )，那么 i? h 。坡度一般 l h ?tan?。 l 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45 、135 、 225 。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC