基本初等函数总结考研

1 / 50 基本初等函数总结考研 一、三角公式总表 L 弧长 =2nRn?R112 R=180 S扇 =LR=R= 36022 正弦定理： asinA = bsinB 2 = 2 / 50 csinC 2 = 2R cosA 余弦定理： a 2 =b 2 2 +c-2bc b 2 3 / 50 2 =a 2 2 2 +c 2 -2ac cosB c=a+b-2abcosC cos S=1a?h 4 / 50 2 2 A? b?c?a 2bc =a 12 absinC=1bcsin 2 bsinAsinC2sinB 2 5 / 50 2 A= 12 acsin B= abc4R =2R2sinAsinBsinC = asinBsinC 2sinA = 6 / 50 csinAsinB2sinC =pr= p(p?a)(p?b)(p?c) (其中 p?1(a?b?c), r 为三角形内切圆半径 ) 2 同角关系： 商的关系： tg?=y=sin? x cos? =sin?sec? ctg? xyrx 7 / 50 ? cos?sin?1cos? ?cos?csc? sin? yrxr ?cos?tg? sec?tg?csc? cos?sin?ctg? csc? ry ? 1sin? ?ctg?sec? 8 / 50 倒数关系： sin?csc? 平方关系： sinasin? 且 tg? ?bcos? ?ba 2 ?cos?sec?tg?ctg?1 2 2 2 2 2 ?cos?sec?tg?csc?ctg?1 9 / 50 2 2 a?bsin(?) 在同一象限， ） ?0,A?0） 函数 y=Asin(?x?)?k 的图象及性质： 2 ? sincos ?2 2 10 / 50 ? 1?cos? 2 1?cos? 2 sin 2 ? 2 ? 1?cos? 11 / 50 2?2sin 2 cos 2 ?2 ? 1?cos? 2 ?2cos 2 12 / 50 ? 2 ? 1?cos? ?2?sin ? 1?cos? ? 2 ?sin?(cos ?2 13 / 50 ) 2 ?cos ?2 ?sin ?2 tg ?2 ? 1?cos?1?cos? ? 14 / 50 sin?1?cos? ? 1?cos?sin? 积化和差公式： sin?cos? 12 1 ?sin(?)?sin(?)? cos?sin? 12 ?sin(?)?sin(?)? 15 / 50 cos?cos? 2 ?cos(?)?cos(?)? sin?sin? 12 ?cos(?)?cos? ? 和差化积公式： sin?cos? ?sin?2sin ? 2?2 16 / 50 cos ? ?cos?2coscos 2?2 sin? cos? ?sin?2cos ? 22 sin ? 22 17 / 50 ?cos?2sin ? sin ? 反三角函数： 最简单的三角方程 二、初等函数 、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函 数。下面我们用表格来把它们总结一下： 、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的18 / 50 函数称为初等函数 . 例题： 是初等函数。 双曲函数及反双曲函数 、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是： (用表格来描述 ) 一、三角公式总表 nR112n?R2 L 弧长 =R= S扇 =LR=R= 18022360 正弦定理： bca = 2R sinAsinBsinC 19 / 50 余 弦 定 理 ： a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC b2?c2?a2 cosA? 2bc S=a?ha=absinC=bcsinA=acsi nB= 12121212abc =2R2sinAsinBsinC 4R a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB=pr=p(p?a)(p?b)(p?c) 2sinB2sinC2sinA (其中 p?(a?b?c), r 为三角形内切圆半径 ) 同角关系： 20 / 50 商的关系： tg?= yx sin?xcos? ?cos?csc? =sin?sec? ctg? cos?ysin? 1 2 sin?cos? r1y ?tg?csc? ?cos?tg? sec? xcos?r 21 / 50 xr1 ?sin?ctg? csc?ctg?sec? rysi n? 倒数关系： sin?csc?cos?sec?tg?ctg?1 平方关系： sin2?cos2?sec2?tg2?csc2?ctg2?1 asin?bcos?a2?b2sin(?) 在同一象限，且 tg? b ） a 函数 y=Asin(?x?)?k 的图象及性质： 2?1 , 频率 f=, 相位 ?x?，初相 ? ?T ?3? 22 / 50 五点作图法：令 ?x?依次为 0,?,2? 求出 x 与 y， 依点 ?x,y?作图 22 振幅 A，周期 T= 诱导公试 三角函数值等于 ?的同名三角函数值， 前面加上一个把 ?看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 ?的异 名三角函数值， 前面加上一个把 ?看作锐角时，原三角函数值的符号 ;即：函数名改变，符号看 象限 和差角公式 23 / 50 sin(?)?sin?cos?cos?sin? c os(?)?cos?cos?sin?sin? tg(?)? tg?tg? tg?tg?tg(?)(1?tg?tg?) 1?tg?tg? tg?tg?tg?tg?tg?tg? 其中当 A+B+C= 时 ,有 : 1?tg?tg?tg?tg?tg?tg? A2 BACBC ?tgtg?tgtg?1 22222 tg(?)? 24 / 50 i).tgA?tgB?tgC?tgA?tgB?tgC ii).tgtg 二倍角公式：(含万能公式 ) 2tg?1?tg2?2222 sin2?2sin?cos?cos2?cos? sin?2cos?1?1?2sin? 1?tg2?1?tg2?1?cos2?2tg?tg2?1?cos2?22 cos?tg2? sin? 21?tg2?1?tg2?2 三倍角公式： sin3?3sin?4sin3?4sin?sin(60?)sin(60?) cos3?3cos?4cos3?4cos?cos(60?)cos(60?) 3tg?tg3? 25 / 50 tg3?tg?tg(60?)?tg(60?) 2 1?3tg? 半角公式： sin? 2 ? 2 ? ?1?cos?1?cos?1?cos? sin2? cos? 22222 1?cos? 26 / 50 1?cos?2sin2 1?cos?2cos2 222 cos2 ? 2 ? ?sin?(cos?sin)2?cos?sin 2 2 2 ? 2 27 / 50 tg ? 2 ? 1?cos?sin?1?cos? ? 1?cos?1?cos?sin? 积化和差公式： sin?cos? 11?sin(?)?sin(?)?cos?sin?sin(?)?sin(?)?2211 cos?cos?cos(?)?cos(?)? 28 / 50 sin?sin?cos(?)?cos? 22 和差化积公式： sin?sin?2sin ? 2222 ? sincoscos?cos?2cos cos?cos?2sin 2222 cos ? sin?sin?2cos ? 29 / 50 sin ? 反三角函数： 最简单的三角方程 二、初等函数 、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下： 基本初等函数及图形 (1) 常值函数 y =c (2) 幂函数 y?x， ?是常数； x?(?,?) ? 30 / 50 1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间，他们的图形都经过原点，并当 u1 时在原点处与 X 轴相切。且 u为奇数时，图形关于原点对称； u为偶数时图 形关于 Y轴对称； 2. 当 u为负整数时。函数的定义域为除去 x=0的所有实数。 3. 当 u 为正有理数 m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为， n为奇数时函数的定义域为。函数的图形均经过原点和 . 如果 mn图形于 x轴相切 ,如果 m 4. 当 u为负有理数时 ,n为偶数时 ,函数的定义域为大于零的一切实数 ;n 为奇数时 ,定义域为去除 x=0 以外的一切实数 . (3) 指数函数 y?a (a是常数且 a?0， a?1)， x?(?,?) x ； 1. 当 a1 时函数为单调增 ,当 a 2. 不论 x 为何值 ,y 总是正的 ,图形在 x轴上方 . 31 / 50 3. 当 x=0时 ,y=1,所以他的图形通过 (0,1)点 . (4) 对数函数 y?log a (a是常数且 a?0， a?1)， x?(0,?)； 1. 他的 图形为于 y 轴的右方 .并通过点 (1,0) 2. 当 a1时在区间 (0,1),y 的值为负 .图形位于 x的下方 , 在区间 (1, +?),y 值为正 ,图形位于 x 轴上方 .在定义域是单调增函数 . a (5) 三角函数 正弦函数 y?sinx， x?(?,?)， y?1,1， 余弦函数 正切函数 余切函数 y?cosx， x?(?,?)， y?1,1， 32 / 50 y?tanxx?k， ? ? 2 ， k?Z， y?(?,?)， y?cotx， x?k?， k?Z， y?(?,?)； (6)反三角函数 x?1,1， y? ? 2,2 33 / 50 反正弦函数 y?arcsinx ， ， 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 y?arccosx， x?1,1， y?0,?， y?arctanx y?(? ? 34 / 50 ， x?(?,?)， 2,2 ) ， y?arccotx ， x?(?,?)， y?(0,?) 小结： 基本初等函数 . 幂函数 35 / 50 (a为实数 ) 要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形 . . 指数函数 定义域： 36 / 50 ， 值域： ， 图形过点， a1时，单调增加； a 时，单调减少。今后 用的较多。 . 对数函数 定义域： 37 / 50 ， 值域：， 与指数函数互为反函数，图形过点， a1时，单调增加； a . 三角函数 ，奇函数、有界函数、周期函数 ； ，偶函数、有界函数、周期函数 38 / 50 ； ， 周期函数 的一切实数，奇函数、 ， 周期函数 ； 39 / 50 的一切实数，奇函数、 ， . 反三角函数 ； 40 / 50 ； ； 。 以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。 注：指数式与对数式的性质 由此可知 41 / 50 ，今后常用关系式 ， 如： 常用三角公式 高一数学必修 1 知识点总结 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn ?a，那么 x 叫 做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n是偶数时， 42 / 50 ?a(a?0) an?|a|? ?a(a?0) 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ， ? 1a 43 / 50 mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 aa r r ?ar?s 44 / 50 (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a rrs (ab)?aa (a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数其中 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 x 是自变 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 45 / 50 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或 f(b),f(a)； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax ?N(a?0,a?1)， 那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 46 / 50 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自